Gruppennachweis

07.12.2005, 15:50

KimmeY

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Frage: Bildet die folgende Menge M mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe?

$\begin{eqnarray*} M=\{\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} mit 0° \leq \alpha \leq 360°\} \end{eqnarray*}$

so, ich hab das soweit auch hinbekommen nur ein kleines Problem bei dem inversen element. Ich habe nach dem üblichen Schema (mit der determinaten und a1 und b2 vertauschen und vor a2 und b1 ein minus) die Umkehrmatrix gebildet.

meine Umkehrmatrix: $\begin{eqnarray*} A^-1: \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ natürlich alles nach den regeln für cos und sin (im tafelwerk) vereinfacht..... tja, jetzt nur mein problem, wie zeige ich dass diese matrix auch in der menge m enthalten ist??? weil das mit dem -sin und sin ist ja nun vertauscht.....

wäre da für eure Hilfe sehr dankbar smile

07.12.2005, 15:53

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Einfach $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ nehmen!!!

07.12.2005, 17:30

KimmeY

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danke....
also reicht das als begründung wenn ich sage, dass ich statt $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ halt $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ nehme, und damit hab ich bewiesen dass die Umkehrmatrix auch Teil der menge ist??? verwirrt

also ich kann das schon so logisch irgendwie erklären, aber auch brauch ne absolut stichhaltige begründung für morgen.....

07.12.2005, 17:47

JochenX

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Einfach $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ nehmen!!!

autsch, nein Augenzwinkern

genauer $\begin{eqnarray*} 2 \pi - \alpha \end{eqnarray*}$ (oder 360°-alpha), damit es denn auch im richtigen intervall liegt

begründung sieht dann etwa so aus:
sin(360°-alpha)=sin(-alpha)=-sin(alpha)
insb. liegt für alpha zwischen 0 und 360° auch 360°-alpha in diesem intervall

07.12.2005, 18:55

KimmeY

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optimal, danke Big Laugh

habs auch in meinem tafelwerk gefunden *hust* dann kann ja morgen nichts mehr schief gehen (fast zumindest *g*)

07.12.2005, 19:07

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von Arthur Dent
Einfach $\begin{eqnarray*} -\alpha \end{eqnarray*}$ nehmen!!!

autsch, nein Augenzwinkern

genauer $\begin{eqnarray*} 2 \pi - \alpha \end{eqnarray*}$ (oder 360°-alpha), damit es denn auch im richtigen intervall liegt.

Freut mich für dich, dass du auch mal Gelegenheit hast, mich zu korrigieren.
Vor allem bei so einem gravierenden Fehler. Big Laugh

07.12.2005, 19:58

Leopold

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Wobei LOED mit seiner "Kritik" meiner Ansicht nach Unrecht hat.

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left. \, \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & - \sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \, \right| \, 0^{\circ} \leq \alpha \leq 360^{\circ} \right\} \ = \ \left\{ \left. \, \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & - \sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \, \right| \, -360^{\circ} \leq \alpha \leq 0^{\circ} \right\} \end{eqnarray*}$

Man beachte die Mengenklammern (Extensionalitätsaxiom).

07.12.2005, 20:18

JochenX

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an euch beiden

07.12.2005, 21:03

KimmeY

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das ist mir schon wieder zu mathematisch LOL Hammer

danke trotzdem für eure hilfe smile

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