komplexe zahlengleichungproblem

07.12.2005, 21:26

catie

komplexe zahlengleichungproblem

danke erst mal dass du helfen magst smile

bombelli(nich weiter wichtig wer das war) hat folgende aufgabe gelöst:
x³=15x+4
erst mal mit einsetzen in cardanisch formel etc, dann kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} x= \sqrt[3]{2+11 \sqrt{-1}} + \sqrt[3]{2-11 \sqrt{-1}} \end{eqnarray*}$
so. dann hat er weitergerechnet(und diesen gedanken verstehe ich nicht: was hat er da gemacht???):
$\begin{eqnarray*} (2+\sqrt{-1})³=8+12 \sqrt{-1}-6- \sqrt{-1} = 2+11\sqrt{-1}, \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2- \sqrt{-1})³=8-12 \sqrt{-1}-6+ \sqrt{-1}= 2-11 \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$
wie er ab hier auf das ergebnis 4 gekommen ist, weiß ich dann.
danke für eure hilfe im vorraus Wink

07.12.2005, 21:36

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

etwas konfus

cardano einsetzen ist wohl richtig und klar?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (2+\sqrt{-1})³=8+12 \sqrt{-1}-6- \sqrt{-1} = 2+11\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

sieht ein bisschen danach aus, als ob er/sie hier eine dritte wurzel errät
erkennst du die rechte seite?

danach diese dritten wurzeln addieren

07.12.2005, 21:40

KimmeY

Auf diesen Beitrag antworten »

einfach ausgerechnet: es gilt ja für $\begin{eqnarray*} (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{eqnarray*}$ einfach ausmultiplizieren, oder das pascalsche dreieck zu Hilfe nehmen......... wenn du das nun auf deine Formel überträgst siehst du dass es dasselbe Prinzip ist und hinkommt.... im prinzip ist es das ganze rückwärts.. du hast die rechte seite gegeben und erräts im prinzip die linke (wie man das sehen soll keine ahnung) dadurch kürzt sich im prinzip das ³ mit der 3. wurzel weg und das ganze lässt sich errechen...... halt zur vereinfachung genutzt um die glechung im endeffekt lösen zu können

analog gilt für das 2 mit $\begin{eqnarray*} (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{eqnarray*}$

07.12.2005, 21:50

catie

Auf diesen Beitrag antworten »

ok. danke schon mal.
das mit (a+b)³ hat mir sehr geholfen, das kannte ich noch nicht [schülerin], das wäre nämlich meine nächste frage gewesen Augenzwinkern

aber mir ist immer noch unklar wo die -11 bzw +11 von der ersten gleichung(mit 3.wurzel etc) geblieben ist.
wenns nur durch raten ist, hat es sich erledigt Tanzen

vielen dank für eure hilfe(auch wenns noch nicht 100%klar ist)

07.12.2005, 21:55

KimmeY

Auf diesen Beitrag antworten »

die +11 mal die wurzel hat er aufgespalten in 12 mal die wurzel - 1mal die wurzel und dadurch schließlich eine form erreicht aus der sich dann rückschlüsse auf das binom 3. grades schließen lassen. um ehrlich zu sein: ich hätte nicht gesehen, dass man die rechte seite in die linke umformen kann, aber geübte mathematik oder leute mit viel zeit können das wohl so sehen Augenzwinkern

07.12.2005, 22:06

KimmeY

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habs nochmal aufgeschlüsselt:
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{2+11\sqrt{-1} } +\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1} } \end{eqnarray*}$

so nächster schritt: umformung von dem was unter der wurzel : 2=8-6 und 11*wurzel(-1) = 12*wurzel(-1) - 1*wurzel(-1) ... (so, also ganz legitim, halt nur etwas das man sehen muss.......) und umsortieren

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{8+12 \sqrt{-1}-6- \sqrt{-1} } +\sqrt[3]{8-12 \sqrt{-1}-6+ \sqrt{-1} } \end{eqnarray*}$

nächster schritt... sehen dass das was nun unter der wurzel steht zu einem binom 3. grades zusammen gefasst werden kann:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{(2+\sqrt{-1})^3 } +\sqrt[3]{(2-\sqrt{-1})^3 } \end{eqnarray*}$

3 wurzel von x³ ist x......... es bleibt also dann stehen x= ..... aber das weißt du ja........ hoffe es ist nun verständlicher....... wie man sowas "sehen" lernen kann - keine ahnung

07.12.2005, 22:11

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine grundsätzliche Bemerkung zu den Cardanischen Formeln:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3}} \end{eqnarray*}$

ist in dieser Form etwas missverständlich: Schließlich hat die dritte Wurzel im Komplexen drei Lösungen. Das sind 3 Lösungen im linken Term und 3 Lösungen im rechten Term, die man aber nicht beliebig miteinander kombinieren darf (das wären 3*3=9 Varianten), wenn man Lösungen der kubischen Gleichung haben will!!!

Daher ist folgende Darstellung genauer:

$\begin{eqnarray*} x = u-\frac{p}{3u} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left( \frac{q}{2} \right)^2 + \left( \frac{p}{3} \right)^3}} \end{eqnarray*}$ .

Hierbei darf $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ dann tatsächlich irgendeine der drei Wurzeln sein!

07.12.2005, 22:44

catie

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke
woooow danke danke danke. ich habs echt verstanden. vielen herzlichen dank KimmeY. hat mir wirklcih weitergeholfen. danke. Tanzen

grüßle

08.12.2005, 13:24

KimmeY

Auf diesen Beitrag antworten »

oh das wusste ich nicht, danke @ arthur......naja, man lernt immer dazu..... smile

alles wird komplizierter mit komplezen zahlen *g*

Neue Frage »

Antworten »

komplexe zahlengleichungproblem

Verwandte Themen