Nachweis von Gradientenfeldern

08.12.2005, 12:26	Olaf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nachweis von Gradientenfeldern Hallo. Ich habe ein Problem mit zwei Aufgaben bezüglich Vektor-und Gradientenfeldern. Die erste wäre 1.) Zeige das das stetige Vektorfeld F(x,y)= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -y/(x²+y²) \\ x/(x²+y²) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ den Integrabilitätsbedingungen genügt, aber kein Gradientenfeld ist. Hinweis: Betrachte das Integral über dem Einheitskreis. Die zweite: 2.) Gegeben ist das Vektorfeld F(x,y,z)= $\begin{eqnarray} \frac{1}{(x²+y²+z²)^{3/2}} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Zeige das F ein Gradientenfeld ist, (obwohl G nicht sternenförmig ist) Bei der ersten hab ich den ersten Teil hingekriegt, das war ja soweit nicht schwer, aber der Rest, da weiß ich nicht, was ich da machen kann, oder wie ich da vorgehen muss. Ich wäre über konstruktive Vorschläge und Lösungstipps äußerst dankbar. MfG Olaf
08.12.2005, 15:35	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! also zur ersten Aufgabe: du hast also bereits gezeigt dass das VF den integrabilitätsbedingungen genügt. jetzt musst du eben noch zeigen, dass es dennoch keine Stammfunktion besitzt. dazu hast du eh einen hinweis bekommen - berechne doch einfach das kurvenintegral über den einheitskreis, und schau dir das ergebnis an. bedenke dabei, dass das integral eines gradientenfeldes über eine geschlossene kurve = 0 ist. zum 2. beispiel: ein gradientenfeld ist wirbelfrei, d.h die rotation des Feldes = 0
09.12.2005, 12:39	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich hätte zu 1) noch mal `ne Frage: Soll " Kurvenintegral über dem Einheitskreis" heißen a) für x^2 + y^2 = 1 schreiben und für x=Wurzel(1-y^2) und y=Wurzel(1-x^2), und dann integrieren? b) oder $\begin{eqnarray} \int~\sqrt{1-F_i'(x,y)} ~dx_i \end{eqnarray}$ ?
09.12.2005, 14:37	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
@ phi Die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma : [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{R}^2, \gamma (t) =\begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ beschreibt den Einheitskreis. $\begin{eqnarray} \int_{\gamma} F = \int_0^{2\pi} F(\gamma(t)) \dot \gamma (t) dt = \int_0^{2\pi} F_1(\gamma(t)) \dot \gamma_1(t) + F_2(\gamma(t)) \dot \gamma_2(t) \; dt \end{eqnarray}$
09.12.2005, 16:13	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe. Mit $\begin{eqnarray} 1:= x^2 +y^2 \end{eqnarray}$ hätte es auch fast geklappt mit der Substitution y=sin t, bekommt man ein Integral von cos(t)^2, nur das andere Glied wäre dann -sin(t), statt sin(t)^2 Mit $\begin{eqnarray} \gamma(t) \end{eqnarray}$ (Parameterform) bekommt man 2Pi nicht gleich 0 raus. Dank & Frohes Fest, phi.

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