Reihe gleich reelle Zahl

08.12.2005, 18:28	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe gleich reelle Zahl Hi... es sei $\begin{eqnarray} a\geq 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_1z_2...z_h,z_{h+1}z_{h+2}... \end{eqnarray}$ die a-Bruchentwicklung einer reellen Zahl z. Zeigen Sie ( einschließlich der Konvergenz der Reihe) $\begin{eqnarray} z=\sum_{n=1}^\infty~{z_na^{h-n}} \end{eqnarray}$ Konvergenz wollte ich über Cauchy zeigen: $\begin{eqnarray} \mid \sum_{k=n}^m~{z_ka^{h-k}} \mid < \epsilon \end{eqnarray}$ also mit $\begin{eqnarray} m= n+1 > n \geq n_0 \end{eqnarray}$ ist dann: $\begin{eqnarray} \mid \sum_{k=n}^{n+1}~{z_ka^{h-k}}\mid = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid z_na{h-n} + z_{n+1}a^{h-(n+1)}\mid \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} < \mid z_na^{h-(n-1)}\mid = z_na{h-n+1} < \epsilon \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} a^{h-n+1} < \frac{\epsilon}{z_n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{n-1-h}>\frac{z_n}{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} log a^{n-1-h} > log \frac{z_n}{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (n-1-h) log a > log \frac{z_n}{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n > 1+h+\frac{log \frac{z_n}{\epsilon}}{log a} \end{eqnarray}$ und log a ist positiv, weil a >= 2. und für den Grenzwert z wollte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} z - \sum_{k=1}^n~{z_ka^{h-k}} \end{eqnarray}$ für n gegen unendlich eine Nullfolge ist... also da z sich wie oben darstellt ist $\begin{eqnarray} z - \sum_{k=1}^1~{z_ka^{h-k}} = z_2z_3 ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z - \sum_{k=1}^2~{z_ka^{h-k}} = z_3z_4 ... \end{eqnarray}$ usw. also gilt: sei $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ die Summe der ersten n-Glieder von $\begin{eqnarray} z_na^{h-n} \end{eqnarray}$ dann ist: $\begin{eqnarray} (z - S_1) > (z - S_2) > ... > (z - S_k) > 0 \end{eqnarray*}$ weil das ne Nullfolge ist muss z der Grenzwert von S sein... könnt ihr mal drübergucken ob man das so machen kann???
08.12.2005, 20:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihe kannst du abschätzen durch eine geometrische Reihe, damit hast du die Konvergenz. Für die Gleichheit: Wie habt ihr das Zeichen $\begin{eqnarray} z_1z_2\ldots z_h,z_{h+1}z_{h+2}\ldots \end{eqnarray}$ definiert? Gruß MSS
08.12.2005, 21:22	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
wie haben einfach gesagt ein Symbol der Form: $\begin{eqnarray} (z_1z_2...z_h,z_{h+1}...)_a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z_i \in [0,1,...,a-1] \end{eqnarray}$ heißt a-Bruch mit den Ziffern $\begin{eqnarray} z_i , i=1,2,... \end{eqnarray}$ dann haben wir jedem a-Bruch eine Intervallschachtelung zugeordnet...
08.12.2005, 21:47	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine zweite Folgerung oben ist falsch. Nur weil die Folge monoton fällt und positiv ist, muss sie nicht gegen 0 konvergieren. Wenn ich das mit der Intervallschachtelung richtig in Erinnerung habe, dann ist sie eigentlich schon der Beweis für die Gleichheit. (Hast du ein Skript, wo das ganze steht?) Gruß MSS
08.12.2005, 22:04	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hab das im Skript stehen, aber bei ner Intervallschachtelung hat man ja zwei Reihen die eine von oben eine von unten gegen z konvergieren. Jetzt soll ich aber zeigen, dass auch eine allein gegen z konvergiert... - ich kann mir nicht vorstellen, dass ich das einfach nochmal so machen darf, wie wir es in der Vorlesung hatten ( also einfach noch die zweite Reihe dazunehmen) - das wäre zu einfach für unseren Prof.
08.12.2005, 22:06	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist das Skript online? Oder du schreibst einfach mal die beiden Reihen hier rein. Gruß MSS
Anzeige

08.12.2005, 22:19	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
die Intervallschachtelung sieht so aus: $\begin{eqnarray} I_n = [a_n,b_n] , n=1,2,... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_n = \sum_{i=1}^n~{z_ia^{h-i}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n = \sum_{i=1}^n~{z_ia^{h-i}} + a^{h-n} \end{eqnarray}$ dabei ist a die Folge, die sich von unten nähert und b die von oben
09.12.2005, 18:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit bist du doch schon fertig. Nach dem Intervallschachtelungsprinzip geht $\begin{eqnarray} a_n\to z \end{eqnarray}$ , d.h., dass deine zu beweisende Gleichung gilt. Gruß MSS

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »