Imaginärteil einer Fouriertransformierten

08.12.2005, 19:44	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
Imaginärteil einer Fouriertransformierten Hallo, hätte mal wieder eine kleine aufgabe für die schlauesten unter euch ich hoffe, es passt hierher. Der Realteil einer Fouriertransformierten F(jw) ist gegeben. Berechne den Imaginärteil unter der Voraussetzung, dass die zugehörige Zeitfunktion f(t) eine kausale Funktion ist. Re{F(jw)} = R(w)= $\begin{eqnarray} \frac{\alpha }{\alpha^{2}+w^{2}} \end{eqnarray}$ Im{F(jw)} = I(w) = ? Anleitung: Berechne folgendes Integral in der komplexen Ebene I(w)= $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{\pi})PV \int_{-\infty}^{\infty}~R(v)\frac{1}{w-v}~dv \end{eqnarray*}$ (Hilbert-Transformation) mit Hilfe von Residuensatz und Hackenintegral. das w soll die Kreisfrequenz darstellen (ein kleines omega hab ich leider nicht gefunden). In unserem Skriptum ist die Hilbert-Transformation leider nur sehr dürftig beschrieben, vom Hackenintegral hab ich überhaupt noch nie was gehört oder gefunden. Wenigstens hab ich herausgefunden, dass PV=Principle Value=Hauptwert. Ich hoffe, wenigstens das stimmt. Residuensatz ist mir soweit geläufig, ich weiß, dass man damit unendliche Integrale berechnen kann und auch ungefähr, wie. ich bin für jeden vorschlag dankbar mfg zappelfry
12.12.2005, 11:11	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
schon auf seite 2 abgerutscht zu schwer? mir wäre schon sehr geholfen, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich R(w) in R(v) umwandeln kann.
13.12.2005, 23:38	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
hihi, da hab ich glatt ein beispiel, das keiner lösen kann jetzt kann ich nur noch hoffen, dass ich das am samstag nicht zur prüfung bekomme
14.12.2005, 19:09	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
also jetzt hab ichs mal geschafft, dass ich mir mit dem residuensatz das integral berechne. ich bekomme folgendes heraus: $\begin{eqnarray} 2\pi j( \frac{-\alpha }{\alpha^{2}+w^{2}}+\frac{1}{2jw+2\alpha} +\frac{1}{2\alpha-2jw}) \end{eqnarray*}$ wenn mir das wer bestätigen und vielleicht noch kurz das Hackenintegral erläutern könnte, werd ich euch auch nicht mehr stören
14.12.2005, 19:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{2j\omega+2\alpha} +\frac{1}{2\alpha-2j\omega} \end{eqnarray}$ kannst du noch vereinfachen, indem du es auf einen Hauptnenner bringst. P.S.: Von "Hackenintegral" habe ich noch nie was gehört - auch Google nicht. Muss eine ganz besondere Spezialität eurer Uni sein.
14.12.2005, 22:22	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
besten dank für die erste reaktion, arthur hast du meine berechnung auch nachgeprüft? ich hab langsam den verdacht, dass mein professor zwar ein star in laplace/fourier-transformation ist, aber keine ahnung von rechtschreibung hat muss wohl hakenintegral heißen.
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14.12.2005, 22:59	Harry Done	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi zappelfry, kann es sein, dass mit Hakenintegral die Kontur gemeint ist, über die ihr integrieren sollt, also ein Halbkreis mit dem Radius R der gegen unedlich geht? Wenn ja müsste man doch folgendes Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \oint_C {\frac{\alpha}{(\alpha^2+v^2)(\omega-v)}dv}=\lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R}~{\frac{\alpha}{(\alpha^2+v^2)(\omega-v)}}~dv+ \lim_{R \to \infty}\int_{\Gamma}^{}~{\frac{\alpha}{(\alpha^2+v^2)(\omega-v)}}~dv \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ der Halbbogen ist der für $\begin{eqnarray} R\to \infty \end{eqnarray}$ gegen Null geht. Das Kurvenintegral kann man dann ja mit dem Resuidensatz bestimmen: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}~{\frac{\alpha}{(\alpha^2+v^2)(\omega-v)}}~dv=Re(v=\omega)+Re(v=i\alpha) \end{eqnarray}$ ohne $\begin{eqnarray} v=-i\alpha \end{eqnarray}$ weil der Pol nicht in der Kontur liegt. Dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} I(w)=\frac{\alpha+i\omega}{2\pi (\alpha^2+\omega^2)} \end{eqnarray}$ mich würde mal interessieren, wo mein Denkfehler liegt?
16.12.2005, 11:46	zappelfry	Auf diesen Beitrag antworten »
danke auch dir für deine antwort, harry muss leider zugeben, dass ich deiner lösung nicht ganz folgen kann. hab jetzt gesehen, dass wir in der vorlesung auch mal ein so ein ähnliches beispiel gerechnet haben und da haben wir dann auch kein Hakenintegral verwendet; einfach nur integrieren und der PV war weg. edit: wens interessiert: das beispiel hab ich nicht zu prüfung bekommen, hab sie aber (höchstwahrscheinlich) trotzdem nicht geschafft

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