Konvergenz anhand Harm. Reihe

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Konvergenz anhand Harm. Reihe
Hallo,

Ich habe folgende Aufgabe:
Main zeige die Konvergenz der Reihe

[TIP: Man gehe ähnlich vor, wie beim Nachweis der Div. der Harmonischen Reihe]

Zunächst, das die Reihe konvergiert ist klar, denn für jedes ist die Reihe konvergent.

Wie die Divergenz der Harmonischen Reihe gezeigt wurde, ist auch klar:
=
Da 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... aber divergiert, muss die Harmonische Reihe auch divergieren.

Leider fällt mir aber partou keine konvergente Partialsumme ein, die größer oder gleich ist unglücklich

Könnte mir ggf. jmd. einen Tip geben, welche Summanden ich betrachten soll?

EDIT: Die Tatsache, für jedes die Reihe konvergiert ist mir zwar bekannt, aber ich darf es nicht anwenden, fällt mir grade mal so auf Augenzwinkern

Gruß
IFS
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht so:

Für im Abschnitt



jeden Summanden nach oben durch



abschätzen. Jetzt mußt du nur noch zählen, wie viele Summanden das sind.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Sei . Klammere nun folgendermaßen:



und schätze nach oben ab. Du erhältst eine konvergente geometrische Reihe (das ist übrigens nur der Beweis des Verdichtungskriteriums speziell für dieses Beispiel formuliert).

Gruß MSS

edit: Pünktchen ergänzt, danke Leopold!
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold:
Wenn ich erlich sein muss, ich verstehe leider den oberen Teil nicht unglücklich

@MSS:
Hm, noch besser, ich beweise direkt allgemein, dass es für a > 1 gilt smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz von MSS ist allgemeiner und erschlägt natürlich alle Fälle auf einmal (@ MSS: bitte in der Formel noch die Pünktchen ergänzen). Mein Ansatz war speziell auf diese Reihe ausgerichtet. Ich betrachte immer die Abschnitte von einer Quadratzahl im Nenner bis vor die nächste Quadratzahl :

Zahlen eines Abschnitts:
Das sind Zahlen. Die kleinste von ihnen ist . Beim Übergang zum Kehrwert wird das also die größte. Daher gilt:



Vorbehaltlich Konvergenz kann man abschätzen:



Und die (bekannte?) Konvergenz der letzten beiden Reihen rechtfertigt nachträglich alle Abschätzungen, so daß eine Majorante gefunden ist.

Ich hoffe, jetzt meinen Zugang verständlich gemacht zu haben. Er ist zugegebenermaßen nicht so elegant wie der von MSS.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis, Leopold!

Zitat:
Original von Leopold
Ich hoffe, jetzt meinen Zugang verständlich gemacht zu haben. Er ist zugegebenermaßen nicht so elegant wie der von MSS.

Aber dafür mal was anderes für diese Reihen als das Standardverfahren und deshalb auch nicht unschön! Augenzwinkern

Gruß MSS
 
 
InfoStudent Auf diesen Beitrag antworten »

Tausend dank euch beiden Augenzwinkern
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