Körper / Komplexe Zahlen

02.05.2008, 12:04

LaMelody

Körper / Komplexe Zahlen

Halli Hallo Wink

ich muss in Mathematik eine GFS (Gleichwertige Feststellung von Schülerleistungen, wird wie eine Klausur gewertet) über die Themen "Division in C & Der Körper der komplexen Zahlen" halten und hätte dazu mal ein paar Frage.

(1.)
Damit man eine Zahlenmenge als "Körper" bezeichnen kann, muss diese ja verschiedene Eigenschaften besitzen:

- für die Addition gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz
- zu jeder Zahl z gibt es eine Zahl -z, sodass z+(-z)=0 gilt
- für die Multiplikation gelten das Kommutativ- und das Assoziativgesetz
- zu jeder Zahl z außer 0 gibt es eine Zahl 1/z, sodass z * 1/z=1 gilt
- es gilt das Distributivgesetz
- für jede Zahl z gilt: z+0=z und z*1=z

Ich soll in meiner GFS nun zeigen, dass der 2. und der 6. Punkt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ , also die Menge der komplexen Zahlen, zutreffen.
Ich weiß nun nicht wirklich, was ich da zeigen soll bzw. wie, da das für mich irgendwie logisch klingt (1+(-1) gibt ja auch 0).

(2.)
Die Zahlenbereiche $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sind ebenfalls Körper, $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ dagegen ist kein Körper.
Hier soll ich nun zeigen, warum Z kein Körper ist.
Habe dazu Folgendes gefunden:

Bekannte Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen , die Menge der reellen Zahlen und die Menge der komplexen Zahlen jeweils mit der üblichen Addition und Multiplikation. Weitere Beispiele sind endliche Körper und die Körper der p-adischen Zahlen.

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge der ganzen Zahlen ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , +, *): Zwar ist ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , +)eine Gruppe mit neutralem Element 0 und jedes a E Z besitzt das additive Inverse - a, aber ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ \ {0}, *) ist keine Gruppe. Immerhin ist 1 das neutrale Element, aber außer zu 1 und - 1 gibt es keine multiplikativen Inversen (zum Beispiel ist 3^(-1) = 1 / 3 keine ganze, sondern eine echt rationale Zahl). Die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, sondern lediglich einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper_%28Algebra%29

Ich versteh da ehrlich gesagt nur Bahnhof. Kann mir vielleicht jemand von euch sagen, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ kein Körper ist?

(3.)
Stellen Sie den Rechenausdruck (1+i) + $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3-i} \end{eqnarray*}$ in der Form a+bi dar
Lösung:

(1+i) + $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3-i} \end{eqnarray*}$
= (1+i) + 2 $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{9+1} \end{eqnarray*}$ (3+i))
= (1+i) + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$ (3+i)
= $\begin{eqnarray*} \frac{8}{5} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ i

Bei dieser Rechnung versteh ich nicht ganz, wie man bei Schritt 2 auf 9+1 kommt und beim Ergebnis auf 8/5, alles andere ist klar.

(4.)
Bringen Sie den Ausdruck in die Form a+bi

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-i} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2+i} \end{eqnarray*}$

bei mir ergibt das dann $\begin{eqnarray*} \frac{-26}{25} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{2}{5} \end{eqnarray*}$ i
Stimmt das? Wenn nicht, poste ich den Rechenweg mal.

Ich weiß, dass ist jetzt alles recht viel auf einmal, aber es wäre wirklich suuuupi, wenn mir hierbei vielleicht jemand helfen könnte.

Liebe Grüße und jetzt schon vielen, vielen Dank im Voraus
Melody

02.05.2008, 12:23

klarsoweit

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