Konvergenz und Grenzwerte

09.12.2005, 12:01	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenzwerte Hallo, ich soll die folgenden Zahlenfolgen auf Konvergenz untersuchen und ihren Grenzwert angeben. $\begin{eqnarray} a_k= (1+\frac{1}{k^{2}})^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_k= (1+\frac{(-1)^k}{k})^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_k= \frac{1-(1-\frac{1}{k})^5}{1-(1-\frac{1}{k})^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_k= \sqrt{k}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \end{eqnarray}$ Die erste ist doch $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{e} \end{eqnarray}$ , oder? Und das geht gegen 1, aber wie zeige ich das?
09.12.2005, 12:08	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
weißt du schon, dass $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \to \infty}{\sqrt[n]{n}}=1 \end{eqnarray}$ ist? kennst du das Sandwich-Lemma, oder Einengungslemma? mfG 20
09.12.2005, 12:25	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kenn ich alles. Mit dem Sandwich-Lemma hab ich auch bewiesen, dass $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{e}=1 \end{eqnarray}$ , aber ich komm vorher nicht auf $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{e} \end{eqnarray}$ P.S.: Hab aus Versehen eine zuviel mit hingeschrieben, die letzte hab ich selber geschafft.
09.12.2005, 12:34	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ich dachte du müsstest nur noch zeigen, dass das gegen 1 geht... leider weiß ich auch nicht, wie man auf $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{e} \end{eqnarray}$ kommt, z.B. ob man da einfach diese regel benutzen darf: $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n \to \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}=e^x \end{eqnarray}$ das ergebnis ist zwar richtig, aber dann würde der limes ja wegfallen, und das wäre falsch. Warte lieber auf jemanden, der sich auskennt mfG 20
09.12.2005, 15:10	thoroh	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{k^2})^k = (1+\frac{1}{k^2})^\frac{k^2}{k}=\sqrt[k]{\hdots} \end{eqnarray}$ Das lässt sich einquetschen -> Sandwich-Lemma
09.12.2005, 17:01	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Worin lässt sich das dann einquetschen? Ich verstehs irgendwie nicht
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09.12.2005, 17:09	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
vielleicht habt ihr schon mal beweisen, dass der teil in der k-tenwurzel <3 ist (ist oft der erste schritt zur konvergenz gegen e). vielleicht sogar genauer, dass er immer <e ist. das er größer 1 ist, ist auch klar. damit kannst du das ganze gegen k-te wurzel (1) und k-te wurzel (3) abschätzen
09.12.2005, 17:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man auch $\begin{eqnarray} a_k= \left(1+\frac{1}{k^{2}}\right)^k < \frac{1}{\left(1-\displaystyle\frac{1}{k^{2}}\right)^k} \end{eqnarray}$ abschätzen, und den Nenner dann mit der Bernoulli-Ungleichung $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in\mathbb{R}, x\geq -1 \end{eqnarray}$ beherrschen. Klappt natürlich erst ab $\begin{eqnarray} k\geq 2 \end{eqnarray}$ , aber das reicht ja.
09.12.2005, 18:00	Casandra	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, jetzt hab ichs auch verstanden Danke für eure Mühe!

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