Vollständiger Raum der kompakten Mengen mit Hausdorff-Metrik

02.05.2008, 14:56

sqrt4

Vollständiger Raum der kompakten Mengen mit Hausdorff-Metrik

Hallo

Sei X ein vollständiger metrischer Raum mit beschränkter Metrik und
$\begin{eqnarray*} \kappa =\{ K\subset X: K ~ kompakt, K\neq \emptyset\} \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ zusammen mit der Hausdorff-Metirk ein vollständiger metrischer Raum ist. Insbesondere ist für eine Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} (K_n) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (\kappa, d_H) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K= \bigcap_{n=1}^{\infty}\overline {\bigcup_{l=1}^{\infty}K_l} \end{eqnarray*}$

wieder kompakt und $\begin{eqnarray*} d_H(K_n, K) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$

1. Ich würde gern wissen ob meine Idee ungefähr in die richtige Richtung geht.

Ich will zeigen dass dieser Raum vollständig ist. Also muss ich zeigen dass der Grenzwert jeder Cauchyfolge K_n wieder eine kompakte Menge ist.

Angenommen der Grenzwert K wäre keine kompakte Menge, dann gibt es eine offene Überdeckung U von K, so dass ich keine endliche Teilüberdeckung auswählen kann, die bereits K überdecken würde.
Von dieser offenen Überdeckung lasse ich "überflüssige" offene Mengen weg. (soll heißen, dass U keine Überdeckung mehr ist, sobald man eine weiteres Element aus U weglässt )

Meine Idee war jetzt die Folge K_n so nahe an das K rangehen zu lassen, bis unendlich viele Elemente aus U einen nichleeren Schnitt mit K_n haben.
Dann nehm ich noch die Menge K_n\K zu U hinzu. (Die Menge K_n\K muss man noch offen machen)
Dann ist U doch eine offene Überdeckung von K_n, aber ich kann keine endliche Teilüberdeckung auswählen!

2. Frage.
Ich versteh nicht was der Ausdruck mit den geschnitten und vereinigen zu bedeuten hat. Da werden doch zuerst Elemente einer Folge vereinigt, dann der Abschluss gebildet, aber was wird dann geschnitten?

Thx

02.05.2008, 18:32

Dual Space

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RE: Vollständiger Raum der kompakten Mengen mit Hausdorff-Metrik

Zitat:

Original von sqrt4
Ich versteh nicht was der Ausdruck mit den geschnitten und vereinigen zu bedeuten hat. Da werden doch zuerst Elemente einer Folge vereinigt, dann der Abschluss gebildet, aber was wird dann geschnitten?

Gute Frage ... handelt sih mit hoher Wahrscheinlichkeit um einen Schreibfehler. Vermutlich sollte es so heißen

$\begin{eqnarray*} K= \bigcap_{n=1}^{\infty}\overline {\bigcup_{l=1}^{n}K_l} \end{eqnarray*}$

02.05.2008, 19:45

sqrt4

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Danke... das macht mehr Sinn smile

02.05.2008, 20:39

system-agent

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Falls es keinen stört noch eine Frage:
Ist dieses $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ eine spezielle Form des $\begin{eqnarray*} \limsup \end{eqnarray*}$ für eine Folge von Mengen?
Denn ich kenne als Definition $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}A_n:=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=0}^{n}A_k \end{eqnarray*}$

03.05.2008, 00:53

sqrt4

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Das seh ich in dem Zusammenhang das erste mal. Liegt aber vllt auch daran, dass wir das Thema Kompaktheit letzte Vorlesung erst begonnen haben und eigtl noch nicht das nötige Rüstzeugs für die aufgabe haben (gewisse Sätze etc.)

03.05.2008, 02:06

WebFritzi

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RE: Vollständiger Raum der kompakten Mengen mit Hausdorff-Metrik

Zitat:

Original von sqrt4
Also muss ich zeigen dass der Grenzwert jeder Cauchyfolge K_n wieder eine kompakte Menge ist.

Nein. Woher willst du denn wissen, dass der Grenzwert überhaupt existiert? Genau diese Existenz musst du zeigen.

03.05.2008, 11:14

sqrt4

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Aber ich dachte Cauchyfolgen würden egtl immer "konvergieren" , eben nicht unbedingt im besagten Raum.

Bei dem Schneiden und vereinigen is es angeblich so gemeint $\begin{eqnarray*} \bigcup_{l=n}^{\infty}K_l \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 05:34

WebFritzi

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Zitat:

Original von sqrt4
Aber ich dachte Cauchyfolgen würden egtl immer "konvergieren" , eben nicht unbedingt im besagten Raum.

In welchem denn dann?

EDIT: OK, klar, du kannst den Raum vervollständigen. Aber ich find's immer doof, wenn man einen Raum gegeben hat, von Konvergenz zu sprechen, die gar nicht in diesem Raum stattfindet. Denn wenn man von Konvergenz redet, muss man auch immer sagen, in welchem Raum (d.h. Menge + Topologie) die Konvergenz stattfinden soll. Es gibt Cauchyfolgen in Q, welche nicht in Q konvergieren. Fazit: Cauchyfolgen konvergieren NICHT immer.

09.05.2008, 22:02

sqrt4

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Hab jetzt eine (hoffentlich richtige) Lösung gefunden. Wer Lust auf Meckern hat, tobt sich bitte hier aus! Augenzwinkern

1. Zeige dass K kompakt ist.
1.1 Zeige allg. dass $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n=:M \end{eqnarray*}$ kompakt ist, falls alle A_n kompakt und $\begin{eqnarray*} A_{n+1}\subset A_n \end{eqnarray*}$ .
1.2 Zeige, dass $\begin{eqnarray*} A_n=\overline{\bigcup_{l=n}^{\infty}K_l} \end{eqnarray*}$ kompakt.

2. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} d_H(K_n,K)\to 0 \end{eqnarray*}$

Beweis der Reihe nach.

1.1:

Nach einer Tutorübung weiß ich, dass die Menge M ungleich der leeren Menge ist, falls $\begin{eqnarray*} A_{n+1}\subset A_n \end{eqnarray*}$ , was hier ja gegeben ist. Um die Kompaktheit nachzuweisen betrachte ich eine beliebige Folge (x_n) (die existieren muss, da nicht leer) in der Menge M und zeige, dass sie eine konvergente Teilfolge besitzt.

Offensichtilich gilt $\begin{eqnarray*} \{x_n | n \in \mathbb{N}\}\subset A_i \end{eqnarray*}$ für alle i. Da die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ kompakt sind gibt es also zu jedem $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ mindestens einen Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} h_i \end{eqnarray*}$
Angenommen es gibt keinen Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} h_i \in \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \end{eqnarray*}$ , dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass keiner der Häufungspunkte in einer der Mengen $\begin{eqnarray*} A_k ~ k\in \{N, N+1, \dots\} \end{eqnarray*}$ was natürlich ein Widerspruch ist. (das muss man evtl. noch genauer erläutern wichtig dabei ist dass $\begin{eqnarray*} \dots A_3\subset A_2\subset A_1 \end{eqnarray*}$ )

zu 1.2

Sei (x_n) eine Folge in der Menge der Vereinigungen (s.o.).

z.z. Sie besitzt eine konvergente Teilfolge. Sei $\begin{eqnarray*} c\in X \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt.
da die MEtrik beschränkt ist, besitzt die Folge $\begin{eqnarray*} y_n:=d(x_n,a) \end{eqnarray*}$ eine konvergente Teilfolge!. Also etwa y_n_k ---> c (Latex verträgt keine Doppelindizes?)
Kurze bildliche Vorstellung. Die Folge x_n_k liegt also ab einem N ganz in der (epsilon+c)-Kugel um den Mittelpunkt a.
Jetzt benutze ich (ohne Beweis - geh aber fest davon aus dass es stimmt - vllt dazu später mehr) dass die abgeschlossene Kugel in einem vollständigen Raum kompakt ist! Dann besitzt also die Teilfolge eine konvergente Teilfolge, insgesamt hat also (x_n) eine kov. Teilfolge.

2. mach ich später in nem Edit.

09.05.2008, 22:09

Airblader

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Doppelindizes:

$\begin{eqnarray*} y_{n_k} \end{eqnarray*}$

air

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