Stichprobenumfang

09.12.2005, 14:21	Klaun	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichprobenumfang hi habe noch eine frage zur stichprobenumfang Man will den Anteil einer Merkmalsausprägung in der Grundgesamtheit mit 1% genauigkeit bestimmen(sicherheitswahrscheinlichkeit 95%) Welcher Stichprobenumfang ist erforderlich wenn nichts über den Anteil bekannt ist? also ich habe die formel $\begin{eqnarray} z(95%)\frac{sigma}{n} \end{eqnarray}$ für sigma brauche ich aber p ist aber nicht gegeben. kann mir wer helfen?
10.12.2005, 11:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin kein Statistiker, versuche mich aber einmal in die Aufgabe hineinzudenken. Es soll also $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ der unbekannte Anteil in der Grundgesamtheit sein, der das Merkmal trägt. Wenn nun die Stichprobe den Umfang $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ hat und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ die zufällige Anzahl der Stichprobenelemente mit dem Merkmal ist, so ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bei einer großen Grundgesamtheit binomialverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ (ich hoffe, daß man das so annehmen kann). Und die Fragestellung verstehe ich so, daß ein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bestimmt werden soll, für das $\begin{eqnarray} P \left( \left\| \frac{X}{n} - p \right\| \leq 0{,}01 \right) \geq 0{,}95 \end{eqnarray}$ gewährleistet ist. Man formt die Ungleichung äquivalent um und bekommt (mit $\begin{eqnarray} \mu = np \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q = 1- p \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} P \left( \left\| X - \mu \right\| \leq 0{,}01 \, n \right) \geq 0{,}95 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 - P \left( \left\| X - \mu \right\| > 0{,}01 \, n \right) \geq 0{,}95 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P \left( \left\| X - \mu \right\| > 0{,}01 \, n \right) \leq 0{,}05 \end{eqnarray}$ Gemäß der Ungleichung von Tschebyscheff gilt nun ( $\begin{eqnarray} Var(X) = npq, \, \mathcal{E}X = \mu \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} P \left( \left\| X - \mu \right\| > 0{,}01 \, n \right) \leq P \left( \left\| X - \mu \right\| \geq 0{,}01 \, n \right) \leq \frac{npq}{0{,}01^2 n^2} \end{eqnarray}$ Nun gilt aber $\begin{eqnarray} pq \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ ist das Maximum der quadratischen Funktion $\begin{eqnarray} p \mapsto p(1-p) \end{eqnarray}$ , so daß man weiter abschätzen kann: $\begin{eqnarray} \ldots \leq \frac{n}{4 \cdot 0{,}01^2 n^2} = \frac{1}{0{,}0004 \, n} \end{eqnarray}$ Und wenn du nun dafür sorgst, daß der letzte Ausdruck höchstens $\begin{eqnarray} 0{,}05 \end{eqnarray}$ wird, dann ist das auch für $\begin{eqnarray} P \left( \left\| X - \mu \right\| > 0{,}01 \, n \right) \end{eqnarray}$ der Fall. Die Abschätzung mit Hilfe der Tschebyscheffschen Ungleichung ist recht grob, so daß das gefundene $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ möglicherweise viel größer als unbedingt erforderlich ist. Ob es da bessere Abschätzungen gibt, welche Korrekturglieder man gegebenenfalls noch anbringen muß und ob der ganze Ansatz mit der Binomialverteilung überhaupt stimmt, kann dir vielleicht Arthur Dent beantworten.

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