Möglichkeiten

09.12.2005, 15:55

joghurt

Losetrommel // Möglichkeiten

Hallo Mädels und Jungs,

ich habe folgende Aufgabe von meiner Lehrerin bekommen, mit der ich nicht klar komme:

Zitat:

In einer Lostrommel befinden sich 100 Lose; insgesamt 85 Nieten und 15 Gewinnlose. 10 Personen kaufen jeweils genau 10 Lose.

Wie viele Möglichkeiten ergeben sich nun für die Verteilung der Gewinne auf die 10 Personen?

Ich habe auch dazu mehrere Lösungsansätze mir ausgedacht, jedoch sind die alle falsch; die vermeintliche Lösung soll so aussehen:
$\begin{eqnarray*} 10\cdot \begin{pmatrix} 13 \\ 5 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 11 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 9 \\ 1 \end{pmatrix}= 250470 \end{eqnarray*}$

Meine Lehrerin hat diese selber erstellt, jedoch wieder vergessen wie sie darauf gekommen ist, daher könnte sie auch falsch sein LOL Hammer

.. Ich hab keine Ahnung mehr wie ich das lösen könnte, also hätte da vielleicht jemand von euch eine Idee?

MfG
joghurt

edit von jochen:
brs entfernt, kein "enter" während des latexcods, zeilenumbrüche mit \\

09.12.2005, 15:56

joghurt

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das </br> sollte da nicht sein.. hat also nichts zu sagen, einfach nicht beachten.

09.12.2005, 22:40

catie

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RE: Losetrommel // Möglichkeiten
ähm. is deine lehrerin eigenartig? verwirrt

kein plan wie sie da drauf gekommen sein könnte.
viel glück noch. Wink

11.12.2005, 20:32

antykoerpa

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Zu Deiner Lehrerin sagt man lieber gar nichts... Ist traurig genug, dass sie ihre eigenen Aufgabe bzw. deren Lösungen nicht rekonstruieren kann. Das einzige was ich dazu beitragen kann ist Folgendes:
Eine einzige Person hat ja folgende Möglichkeit Lose zu ziehen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 85 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 8 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 7 \end{pmatrix} + \\ \begin{pmatrix} 85 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 4 \end{pmatrix} + \\ \begin{pmatrix} 85 \\ 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 85 \\ 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 85 \\ 10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Kürzer geschrieben: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{10}~ \begin{pmatrix} 85 \\ k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 15 \\ (10-k) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Aber ich hätte nun auch ein Problem damit, die folgenden "Zieher" zu bestimmen, weil die Möglichkeiten ja immer vom "Zieher" davor abhängen...?!

11.12.2005, 23:16

joghurt

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hmm joa also mann könnte das ja auch alles in ein baumdiagramm packen, aber das würde riesig werden... und das will ich so lange nicht konstruieren.

hm zu antykoerpa, ja also die nieten müsste man ja eigentlich nicht beachten oder? es genügt doch die lose zu betrachten, und entweder bekommt der erste dann 0 gewinne, 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 , also 11 möglichkeiten. muss man so nicht ausdrücken so kompliziert nehm ich ma an.

11.12.2005, 23:33

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Ich nehme mal an, dass die Gewinnlose nicht voneinander unterscheidbar sein sollen, oder? D.h., "Gewinn ist Gewinn". Dann entspricht das ganze der Suche nach der Anzahl der 10-Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen $\begin{eqnarray*} (n_1,n_2,\ldots,n_{10}) \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} n_1 + n_2 + \cdots + n_{10} = 15 \end{eqnarray*}$

unter den Nebenbedingungen $\begin{eqnarray*} n_k\leq 10 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k=1,2,\ldots,10 \end{eqnarray*}$ .

Ohne diese Nebenbedingungen ergibt sich einfach die Anzahl über "Kombinationen mit Wiederholung" (siehe Übersichtstabelle "Anzahlberechnungen Kombinatorik" needs Firefox ) als $\begin{eqnarray*} {10+15-1 \choose 15} = {24 \choose 15} \end{eqnarray*}$ . Durch die Nebenbedingungen sind es allerdings etwas weniger, man muss von dieser Anzahl also noch ein bisschen abziehen...

12.12.2005, 15:51

joghurt

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hm ja aber das wird ja dadurch kompliziert gemacht, das die 15 gewinnlose auf jeden fall irgendwie verteilt werden, da ja alle 100 lose gezogen werden. Kann man das mathematisch in einer Gleichung ausdrücken?

12.12.2005, 16:57

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Die 85 Nieten interessieren nur insofern, dass sie zur "Auffüllung" der Losanzahl 10 pro Teilnehmer gebraucht werden. Bei der Berechnung der Verteilungsmöglichkeiten der Gewinne sind sie schlichtweg bedeutungslos - so lese ich zumindest die Aufgabenstellung.

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