Konvergenzradius, Beweis

09.12.2005, 16:34

Sheli

Konvergenzradius, Beweis

Hallo,

ich muss zwei Sachen zeigen.
1. Sei $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} a:=\sum_{k=1}^n~a_nz^n \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} r_a= \frac{1}{lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} \end{eqnarray*}$

und

2. Die Koeffizienten der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} a:=\sum_{k=1}^n~a_nz^n \end{eqnarray*}$ seien ganze Zahlen, $\begin{eqnarray*} a_n\neq0 \end{eqnarray*}$ für unendlich viele n. Zu zeige ist:
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist höchstens 1.

Bei 1. hab ich leider nicht mal einen Ansatz. Weiss nicht, wie ich anfangen soll...
Und bei 2. sieht man das doch schon, dass es höchstens 1 sein kann, da ja die Zahl im Nenner positiv, aber ungeleich Null ist. D.h. es kommt höchstens 1 raus. Aber ich weiss nicht, wie mans formal aufschreibt.

unglücklich

vielleicht kann mir da jemnad helfen?

09.12.2005, 17:19

schnudl

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RE: Konvergenzradius, Beweis
Zu (1)

$\begin{eqnarray*} \sum a_nx^n = \sum z_n \end{eqnarray*}$

Es gibt ein Quotientkriterium das besagt dass eine Reihe konvergent ist, falls gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert \frac{z_{n+1}}{z_n}\vert < 1 \end{eqnarray*}$

Einsetzen $\begin{eqnarray*} z_n = a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ ergibt die Bedingung für x.

Ob das nur eine Plausibilisierung ist oder ein strenger Beweis kann man natürlich diskutieren Augenzwinkern

09.12.2005, 17:42

Sheli

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Vielen Dank!!!

Ich hab mir eben auch was überlegt, aber ich glaub das ist im Prinzip das, was du meinst.
Ich habs so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \alpha:=lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$
Jetzt def. man $\begin{eqnarray*} b_n:=a_n|z-z_0|^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha':=lim|\frac{b_{n+1}}{b_n}| \end{eqnarray*}$
Und dann hat man drei Fälle: $\begin{eqnarray*} \alpha'<1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha'=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \alpha'>1 \end{eqnarray*}$ .

1. Fall:
$\begin{eqnarray*} \alpha'<1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} \alpha' = lim|\frac{b_{n+1}}{b_n}| = lim|\frac{a_{n+1}|z-z_0|^{n+1}}{a_n|z-z_0|^n}| = lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|*|z-z_0| = \alpha|z-z_0|<1 \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} |z-z_0|< \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{lim|\frac{a_{n+1}}{a_n}|} =r_a \end{eqnarray*}$

Und für die anderen beiden Fälle mach man das analog.
Wäre das so eine Möglichkeit es formal aufzuschreiben?

09.12.2005, 17:50

Leopold

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Die Aussage in 1. ist meiner Ansicht nach falsch. Zwar kann man bei Existenz des Limes so auf den Konvergenzradius schließen. Man kann aber nicht umgekehrt - und das wird ja hier behauptet! - den Konvergenzradius zwangsläufig mit dieser Formel berechnen.

Oder verschweigst du uns wichtige Informationen zu dieser Aufgabe?

09.12.2005, 19:21

Sheli

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Nein, hab die Augb. socwiedergegeben, wie sie uns gegeben wurde.
Es wäre ja auch nicht in meinem Interesse euch Informationen zu veschweigen Augenzwinkern

Ja, die Fragestellung ist zwar ein wenig fraglich. Aber wir haben das schon so gemacht, das wir den Konverg.-Radius auch anders berechnet haben. Das ist uns schon klar, dass es nicht die einzige Möglichkeit ist.

Aber abgesehen davon, kann ich das jetzt so machen? Oder ist es fehlerhaft?

11.12.2005, 15:06

Sheli

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Ich habe nochmal eine Frage zu der 2. Aufgabe.
Ich würde das ja mit nem Indirektem Beweis machen, also annehmen, dass der Konvergenzradius r>1 ist, also z.b r=1+x. Kann ich dann schreiben, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}} = 1+x \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ , das heißt aber, dass die |a_n| immer kleiner werden müssen, und somit zwischen 0 und 1 liegen muss. Also ist das ein widerspruch.

Oder sieht da jemnad einen Fehler??

12.12.2005, 20:32

Großes Fragezeichen

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Hey, ich hab hier auch mal eine Frage zu.

Und zwar hat schnudl geschrieben

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum a_nx^n = \sum z_n \end{eqnarray*}$

Es gibt ein Quotientkriterium das besagt dass eine Reihe konvergent ist, falls gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \vert \frac{z_{n+1}}{z_n}\vert < 1 \end{eqnarray*}$

Einsetzen $\begin{eqnarray*} z_n = a_n \cdot x^n \end{eqnarray*}$ ergibt die Bedingung für x.

Aber wenn ich das jetzt einsetze bekommen ich doch
$\begin{eqnarray*} lim|\frac{z_{n+1}}{z_n}|=lim|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}| = lim|\frac{a_{n+1}x}{a_n}| < 1 \end{eqnarray*}$

Und ich seh leider nicht, dass ich die Behauptung bewiesen hab.

Würd mich freuen wenn mir das nochmal jemand kurz erklären könnte...

12.12.2005, 20:53

Mathespezialschüler

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Einfach umstellen:

$\begin{eqnarray*} |x|<\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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