Beurteilende Statistik - Fragen zu Aufgaben

09.12.2005, 17:07

SkYfiGhTeR

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Beurteilende Statistik - Fragen zu Aufgaben

Hallo,

ich habe eine Frage zu der Aufgang im Anhang.

Was ist denn bei aufgabe a) genau mit Wahrscheinlichkeitsregeln gemeint?

Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} \mu=n*p \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)} \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn ich jetzt beispielsweise eine Münze habe die 50-mal geworfen wird und X die Anzahl der Kopfwürfe sind und ich z.B. schauen soll, wie wahrscheinlich es ist, dass X einen Wert annimmt der höchstens um $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ vom Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ abweicht, dann müsste das ja so aussehen: $\begin{eqnarray*} P(|X-\mu|\leq\sigma) \end{eqnarray*}$

Und wie sollen da nun allgemeine Regeln für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Umgebungen des Erwartungswerts $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ aussehen?

Vielen Dank im Voraus!

09.12.2005, 17:27

bil

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hi...
bei der a) musst du einfach die wahrscheinlichkeiten der umgebungen angeben.
sprich z.b für k=2
das intervall hat die wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} [\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 2\sigma \leq X \leq\mu +2\sigma)=0.95 \end{eqnarray*}$

das exakte k was du immer in den tabellen findest wäre übrigens k=1,96.
und das gleiche machst du jetzt für k=1,3 noch. und dann hast du eine allgmeine "wahrscheinlichkeitsregel" erstellt Augenzwinkern

Augenzwinkern

kann man ab und zu auch gebrauchen siehe:
Normalverteilung - falsches Ergebnis?
dann wird dir vll klarer wozu man das brauch.

gruss bil

09.12.2005, 18:04

SkYfiGhTeR

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Hi,

alles klar. Dann für die a) also:

$\begin{eqnarray*} [\mu - \sigma, \mu + \sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - \sigma \leq X \leq\mu +\sigma)=0.683 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 2\sigma \leq X \leq\mu +2\sigma)=0.955 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\mu - 3\sigma \leq X \leq\mu +3\sigma)=0.997 \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe b):

i)

$\begin{eqnarray*} n=500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu=n*p=83,33 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=8,33 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(75 \leq X \leq 91,66)=0.683 \end{eqnarray*}$

Mit 68,3%iger Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei 500 Würfen zwischen 75 und 91.

$\begin{eqnarray*} P(66,67 \leq X \leq 99,99)=0.955 \end{eqnarray*}$

Mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei 500 Würfen zwischen 67 und 99.

$\begin{eqnarray*} P(58,34 \leq X \leq 108,32)=0.997 \end{eqnarray*}$

Mit 99,7%iger Wahrscheinlichkeit liegt die Anzahl der gewürfelten Sechsen bei 500 Würfen zwischen 59 und 108.

ii)

$\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=0,23 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu=n*p=46 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=5,95 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(40 \leq X \leq 52)=0.683 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(34 \leq X \leq 58)=0.955 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(28 \leq X \leq 64)=0.997 \end{eqnarray*}$

Nur was jetzt irgendwie das Fazit daraus ist kann ich mir gerade nicht klar machen. *g* Irgendwie müssen ja noch die 50 Stück 1. Wahl aus den 200 getesteten Stück miteinbezogen werden..

09.12.2005, 19:55

bil

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das fazit der ganzen geschichte ist halt ab wann etwas signifikant ist und wann nicht. wie du jetzt an den intervallen siehst ist z.b die vermutung das der würfel gezinkt ist sehr hoch(es treten ja 101 sechsen auf).das heisst mit einem fehler von 4,5% ist dies eine falschaussage(der würfel ist gezinkt). im gegensatz zu dem zweiten bsp. da liegt die 50 wie sogar schon im 68% intervall.

gruss bil

09.12.2005, 20:10

SkYfiGhTeR

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Hm, ahja...und wieso (beim Würfel) jetzt ausgerechnet bei 4,5%? Denn beim Intervall mit k=2 liegt die 101 ja auch nicht drin?

09.12.2005, 20:22

bil

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ja gerade weil bei k=2 ist das 2sigma intervall ja 0.955. das heisst wenn ich sage der würfel ist gezinkt ist die aussage zu 4.5% wahrscheinlichkeit falsch. weil mit einer wahrscheinlichkeit von 95,5% müsste die anzahl der sechsen in dem 2sigma intervall ja liegen. tut sie aber nicht. also kann man davon ausgehen(mit einer fehlerwahrscheinilchkeit von 4,5%) das der würfel gezinkt ist.

und wenn jetzt jemand behauptet das NICHT 23% der produktion 2te wahl ist diese aussage mit einer wahrscheinlichkeit von schon ca. 32% falsch. wie du siehst schon ziemlich hoch. also wäre diese behauptung nicht angebracht.

verstanden?

gruss bil

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09.12.2005, 20:25

bil

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Zitat:

Original von bil
und wenn jetzt jemand behauptet das NICHT 23% der produktion 2te wahl ist

meinte natürlich 1.wahl.

gruss bil

10.12.2005, 09:11

SkYfiGhTeR

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Hallo,

mh..ja denke schon.

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Es geht um die Aufgabe im Anhang.

Zur a):

$\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p=0,35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu=n*p=70 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{n*p*(1-p)}=6,745 \end{eqnarray*}$

Also die relative Häufigkeit $\begin{eqnarray*} \frac{X}{n} \end{eqnarray*}$ bei 200 Spielen fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} 95,5% \end{eqnarray*}$ in eine Umgebung mit dem "Radius" $\begin{eqnarray*} \frac{2\sigma}{n}=0,06745 \end{eqnarray*}$ und die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt bei $\begin{eqnarray*} p=0,35 \end{eqnarray*}$ .

Also dürfte dann ja das Intervall sein: $\begin{eqnarray*} [0,28255; 0,41745] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(0,28255 \leq \frac{X}{n} \leq 0,41745) \geq 95,5% \end{eqnarray*}$

Und bei Aufgabe b) weiß ich irgendwie nicht so genau wie ich da vorgehen muss.

Die Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt schon mal bei 99,7%, d.h. z bzw. k ist 3.

Und jetzt solll die relative Gewinnwahrscheinlichkeit, die ich ja in Aufgabe a) aufgestellt habe oder? Also dann sozusagen nur mit 99,7% und damit eben k=3. Und dann soll dieese relative Gewinnwahrscheinlichkeit noch um höchstens 1% von der theoretischen Gewinnwahrscheinlichkeit, welche ja bei p=0,35 (35%) lag abweichen. Also sozusagen $\begin{eqnarray*} 0,34 \leq \text{relative Gewinnwahrscheinlichkeit} \leq 0,36 \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!

10.12.2005, 12:19

bil

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ok... die aufgabe b) geht mehr oder weniger wie die a). übrigens bei neuen aufgaben am besten immer einen neuen thread starten weil dann einfach mehr leute sich die aufgaben nochmal anschaun. aber egal... fangen wir mal an:

wie du schon richtig erkannt hast muss jetzt gelten:

$\begin{eqnarray*} P(0.34\leq 0.35 \leq 0.36)=0.997 \end{eqnarray*}$

wenn du dir die aufgabe a) anschaust wirst du sehen das du dieses intervall über das n bestimmt hast, siehe.

Zitat:

Umgebung mit dem "Radius" $\begin{eqnarray*} \frac{2\sigma}{n}=0,06745 \end{eqnarray*}$

Also dürfte dann ja das Intervall sein: $\begin{eqnarray*} [0,28255; 0,41745] \end{eqnarray*}$

jetzt muss das intervall aber $\begin{eqnarray*} [0,34~;~ 0,36] \end{eqnarray*}$ sein und $\begin{eqnarray*} \sigma =3 \end{eqnarray*}$ . und so kannst du dann auch das n bestimmen weil mit n=200 wird das intervall nicht rauskommen.

gruss bil

10.12.2005, 12:40

bil

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Zitat:

Original von bil
und $\begin{eqnarray*} \sigma =3 \end{eqnarray*}$

meine 3 sigma regel damit. aber du darfst auch nicht vergessen das sigma von n abhängig ist.

gruss bil

10.12.2005, 13:49

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm...ja ich weiß, dass jetzt $\begin{eqnarray*} P(0,34 \leq 0,35 \leq 0,36)=0,997 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

So und z=3, da Sicherheitswahrscheinlichkeit ja bei 99,7% liegt.

Und nun möchte ich ja n ausrechnen für das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,34; 0,36] \end{eqnarray*}$ .

Und bei $\begin{eqnarray*} \frac{3\sigma}{n} \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht was rauskommt, da ich das n eben noch gar nicht habe. Und wie soll ich das nun lösen, wenn ich weder n habe, noch das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} \frac{3\sigma}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Oder dann einfach so:

$\begin{eqnarray*} \frac{3\sigma}{n} \leq 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3*\frac{\sqrt{n*0,35*0,65}}{n} \leq 0,01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{2,0475*n}{n^{2}} \leq 0,0001 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \geq 20475 \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Es wären also mehr als bzw. mindestens 20475 Spiele notwendig?

Und bei Aufgabe c) wären dann insgesamt weniger Spiele notwendig, wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit des Automaten reduziert würde.

10.12.2005, 13:57

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
$\begin{eqnarray*} n \geq 20475 \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Es wären also mehr als bzw. mindestens 20475 Spiele notwendig?

überprüfe das doch einfach. jetzt hast du n=20475, p=0.35. bestimme jetzt genau wie du in aufgabe a) gemacht hast das 3 sigma intervall. und dann siehste ob es passt...

gruss bil

10.12.2005, 15:20

SkYfiGhTeR

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Hi,

ja alles klar - passt. smile

smile

Dankeschön! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Eine Kleinigkeit hätte ich da noch...ich mach's mal noch in diesen Thread, hab ja auch im Titel stehen, dass es um mehrere Aufgaben geht. *g*

Aufgabe s. Anhang und zwar bei der a):

$\begin{eqnarray*} n=3200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X=1152 \end{eqnarray*}$

Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt bei $\begin{eqnarray*} 95,5% \end{eqnarray*}$ also eine $\begin{eqnarray*} 2\sigma \end{eqnarray*}$ -Umgebung.

Relative Trefferhäufigkeit: $\begin{eqnarray*} h_{n}=\frac{X}{n}=0,36 \end{eqnarray*}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray*} 95,5% \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |\frac{X}{n}-p| \leq \frac{2\sigma}{n} \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} |0,36-p| \leq 2* \frac{\sqrt{3200*p*(1-p)}}{1200} \end{eqnarray*}$

Ja und nach quadrieren usw. habe ich dann das erhalten:

$\begin{eqnarray*} p^{2}-6,53p+1,19 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre das Intervall bei: $\begin{eqnarray*} [0,1876;6,34] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,1876 \leq p \leq 6,34 \end{eqnarray*}$

Hm...aber darf das denn hier größer als 1 werden der Bereich für p? Eigentlicht ja nicht wirklich oder...hab ich mich wo verrechnet?

- - - - - - - - - - - - -

Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} X=1152 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3200 \end{eqnarray*}$

Sicherheitswahrscheinlichkeit liegt bei $\begin{eqnarray*} 99,7% \end{eqnarray*}$ und damit eine $\begin{eqnarray*} \frac{3\sigma}{n} \end{eqnarray*}$ -Umgebung.

Mit dem Näherungsverfahren:

$\begin{eqnarray*} h_{n}=\frac{X}{n}=0,36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\frac{X}{n}-p| \leq \frac{3\sigma}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |0,36-p| \leq 3*\frac{\sqrt{3200*0,36*0,64}}{3200} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,3345 \leq p \leq 0,3855 \end{eqnarray*}$

Da das Intervall die 40%-Marke nicht erreicht/beinhaltet, werden keine weiteren Folgen der Serie gedreht.

Ist das so korrekt?

Vielen Dank im Voraus!

10.12.2005, 16:53

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
also: $\begin{eqnarray*} |0,36-p| \leq 2* \frac{\sqrt{3200*p*(1-p)}}{1200} \end{eqnarray*}$

Ja und nach quadrieren usw. habe ich dann das erhalten:

$\begin{eqnarray*} p^{2}-6,53p+1,19 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Damit wäre das Intervall bei: $\begin{eqnarray*} [0,1876;6,34] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,1876 \leq p \leq 6,34 \end{eqnarray*}$

Hm...aber darf das denn hier größer als 1 werden der Bereich für p? Eigentlicht ja nicht wirklich oder...hab ich mich wo verrechnet?

also vom ansatzt siehts gut aus. aber bei

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |0,36-p| \leq 2* \frac{\sqrt{3200*p*(1-p)}}{1200} \end{eqnarray*}$

woher kommen die 1200? sehe das du bei b) mit 3200 gerechnet hast, also hast dich wahrscheinlich verschrieben. wenn der fehler nicht bei 1200 liegt dann hast du dich beim quadieren verrechnet.
wie du schon richtig erkannt hast darf p nur zwischen 0 und 1 liegen.
also ich verrate dir mal die obere schranke, dann weisst ja ob dein ergbeniss nachher richtig ist.

$\begin{eqnarray*} P(a\leq \hat{p} \leq 0.377)=0.955 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \hat{p}=\frac{1152}{3200} \end{eqnarray*}$

also ist die obere schranke schonmal 0.377. die untere darfst du jetzt nochmal probieren...

bei aufgabe b) siehts auch wieder vom ansatz her gut aus. nur hab ich was anderes raus. du hast mit X=1152 gerechnet. aber X ist 1204 bei der b).

gruss bil

10.12.2005, 17:02

bil

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Zitat:

Original von SkYfiGhTeR
Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} X=1152 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=3200 \end{eqnarray*}$

deine ausgerechneten werte von der b) stimmen wenn das gelten würde. aber X=1204 und n=2800 sonst hätte es gepasst.

gruss bil

10.12.2005, 17:17

SkYfiGhTeR

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Hi,

hm..ja ich hab mich nicht verschrieben bei Aufgabe 3. a) sondern mit 1200 gerechnet und nicht mit 3200, warum auch immer. *gg*

Bei der a) dann also: $\begin{eqnarray*} 0,343 \leq p \leq 0,377 \end{eqnarray*}$

Bei Aufgabe b) hab ich erst gedacht, es ändert sich lediglich die Sicherheitswahrscheinlichkeit, aber es sind ja auch sowohl die Gesamtzahl der Befragten als auch die Antworten anders...hab ich völlig übersehen.

Dann ist es bei Aufgabe b):

$\begin{eqnarray*} 0,402 \leq p \leq 0,458 \end{eqnarray*}$

Das passt mit den gewollten 40% und damit wird es neue Folgen der Serie geben.

Hoffe es stimmt nun und danke! Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2005, 17:37

bil

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Freude

jetzt passt alles! zumindestens hab ich das gleiche raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

woher kommen die aufgaben eigentlich? sind das schulaufgaben oder von der uni?

gruss bil

10.12.2005, 17:39

SkYfiGhTeR

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Hi,

das waren Schulaufgaben aus "Mathematik 13.1 Leistungskurs Hessen" von Cornelson.

Schön, dass es so nun passt und nochmals danke für die Unterstützung! Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.12.2005, 17:48

bil

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nichts zu danken...
konfidenzintervalle hatte ich selber länger nicht mehr gemacht, war also mal ganz gut zur auffrischung Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit schulaufgaben hätte ich nicht gerechnet... finde ich auch schon ziemlich schwer für schule... in meinem lk(vor 3 jahren) wären da wohl die meisten ausgestiegen inlusive mir Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

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