Population (aus dem Rätselforum)

09.12.2005, 17:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Jochen Interessant ist eine kleine Änderung der Rahmenbedingungen: Der Wegfall der Monogamie. edit von Jochen: abgespalten nach diesem beitrag hier
09.12.2005, 17:30	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
@AD: dann müsste man aber mehr über die potenz der männchen wissen g wenn man also annähme, jedes weibchen könnte (und würde) einmal kinder kriegen, aber jedes männchen könnte beliebig viele weibchen ..... rotwerd ....., dann gäbe es jedes jahr 2*w kinder (w bezeichne dabei die weibchenzahl), von denen dann "im schnitt" wieder etwa die hälfte weiblich ist (annahme!) erwartungsgemäß sollte dabei 2000 ein ungefähres mittel der population bleiben, oder? was natürlich auch nicht ausschließt, dass sie über alle grenzen hinaus wächst, bzw. doch irgendwann ausstirbt. dabei kann man natürlich die männchen/weibchen geburtsrate noch variabel gestalten. vielleicht ist ja nur jedes 3. kind weiblich? in manchen fällen würden die männchen aber vielleicht schon früher wegen erschöpfung sterben..... edit: noch unlesbar markiert edit2: ach menno, für diesen feldhintergrund bräuchte ich eine andere farbe, als du arthur :-\
09.12.2005, 17:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Jochen Richtig, bei Wegfall der Monogamie bleibt der Erwartungswert 2000 pro Rätsli-Generation zu jedem Zeitpunkt konstant. Trotzdem müsste aber folgendes gelten (da muss ich aber nochmal über die Begründung nachdenken, die ist nicht so einfach): Die Rätslis sterben mit Wahrscheinlichkeit 1 aus. Natürlich ist die Zufallsvariable der Aussterbezeitpunkts unbeschränkt, ansonsten wäre das ja ein Widerspruch zur oben erwähnten Konstantheit des Erwartungswertes über alle Zeiten. Vielleicht sollte ich doch langsam wieder groß und unversteckt schreiben, dafür dann aber unter Stochastik.
09.12.2005, 18:27	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo AD jo, irgendwie erinnert mich das grad an eine aufgabe aus meiner stochastiklausur vor einem halben jahr jetzt nochmal schlecht sichtbar: ich hatte mir auch schon überlegt, ob ich so etwas vorschlagen sollte, muss dazu jetzt doch mal meine meinung zu sagen, da ich oben auf jeden fall nicht ganz korrekt war EW=2000 ist ja leider auch (für endliche zeiten) falsch, weil (wie mir jetzt bewusst wird) ja auch der fall ALLE nachkommen weiblich zum aussterben (und nicht wie oben angenommen zur verdoppelung) führt. (einfaches beispiel nehme 1 statt 2000 starttiere) damit nimmt die population im schnitt wieder ab...... ich glaube aber kaum, dass du das meintest, oder? ändern wir den fall also noch auf selbstbefruchtbrkeit der weibchen (wem die männchen dann zu unnütz sind wandle um auf "geschlechtslose tiere, zu 50% nicht geschlechtsreif oder todgeburt") um dann würde für endliche zeiträume als EW immer der anfangsbestand bleiben bist du dann auch noch der meinung, sie würden irgendwann aussterben? kommt mir etwas vor, wie das unendliche verdopplungsverfahren beim roulette falls nichtgewinn......... und DANN würde mich deine begründung wirklich interessieren, denn wenn zu jedem endlichen zeitpunkt..... ich denke, du weißt, was ich meine achja, können das gerne zu stochastik auslagern
09.12.2005, 18:56	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@Jochen Jetzt hast du mich schon wieder erwischt: Den Fall "keine männlichen Nachkommen" hatte ich tatsächlich auch vergessen. Das macht die Sache aber eher noch einfacher, da dann das Aussterben bis zu einem festen Zeitpunkt noch wahrscheinlicher wird, als ohne Berücksichtigung dieses Falles.
09.12.2005, 19:07	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
soooo, habs mal abgetrennt; aber der beweis für das sichere aussterben im alternativfall (wenn man also "keine männchen" ignorieren könnte) würde mich dann doch interessieren immerhin ist P(alles nichtweiblich) bei (beliebig groß) wachsender population ja auch eine nullfolge........... ich kann mir einfach nicht vorstellen, dass der erwartungswert, der für jeden endlichen zeitpunkt 2000 beträgt im grenzfall 0 sein soll......
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09.12.2005, 19:38	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist er ja auch nicht! Du darfst $\begin{eqnarray} E(X_N)=0 \end{eqnarray}$ (N ... zufälliger Aussterbezeitpunkt) nicht mit $\begin{eqnarray} E(X_n)=E(X_1)=\mathrm{const}>0 \end{eqnarray}$ vermengen! Betrachte mal ein einfacheres, aber sehr verwandtes Beispiel: Roulette ohne die Null, und dann die Strategie: Immer nur rot setzen, bei immer gleichen Einsatz 1. Keine besonders aufregende Strategie, ich weiß. Dann bleibt der Erwartungswert deines Geldes zu jedem Zeitpunkt gleich. Trotzdem kommst du mit Wahrscheinlichkeit 1 irgenwann in die Pleitesituation. Falls du im Pleitefall unbegrenzten Kredit aufnehmen kannst, wäre dieses Modell übrigens mit der "zufälligen diskrete Irrfahrt" identisch - das will ich hier aber garnicht betrachten, sondern abschneiden bei Null. Ob mit oder ohne Kredit bei Null: Der Prozess $\begin{eqnarray} (X_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ ... verfügbares Geld zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist klar ein Martingal, d.h. $\begin{eqnarray} E(X_{n+1}\|X_n)=X_n \end{eqnarray}$ . Aus dieser Martingal-Eigenschaft folgt übrigens sehr leicht das behauptete $\begin{eqnarray} E(X_{n+1})=E(X_n) \end{eqnarray}$ . Zum tieferen Verständnis: Die Pleitewahrscheinlichkeit bis maximal Zeitpunkt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ steigt zwar monoton und konvergiert gegen 1, gleichzeitig steigt aber auch der bedingte erwartete Gewinn unter der Bedingung, dass man bis zum Zeitpunkt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ eben nicht pleite gegangen ist! Und das gleicht sich tatsächlich aus. P.S.: Was die oben erwähnte zufällige diskrete Irrfahrt betrifft: Im verstetigten Grenzübergang (Zeit $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , und Sprünge $\begin{eqnarray} \pm\sqrt{\Delta t} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \pm 1 \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \Delta t\to 0 \end{eqnarray}$ wird daraus dann übrigens der Wiener-Prozess, wo fast jede Trajektorie zu irgendeinem Zeitpunkt jede beliebige Schranke überschreitet! Falls du vielleicht mal irgendwann eine Vorlesung über stochastische Prozesse hören solltest, wird dir das wiederbegegnen.
09.12.2005, 22:26	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe ja gefragt! :-O aber das roulettebeispiel ist zumindest irgendwie einleuchtend... danke! gut, dass man das bei der eigentlichen "aufgabe" nicht beachten musste.

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