Fragen zur Wurzel- und Potenzrechnung

09.12.2005, 22:19

Vierwald

Fragen zur Wurzel- und Potenzrechnung

Hi Leute,
bin neu hier und hab schon gleich ein paar Fragen Augenzwinkern

.
Ich hab hier folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} a^{-\frac {5}{6}}- b^{-\frac {5}{6}} : a^{-\frac {5}{6}}- b^{-\frac {5}{6}} \end{eqnarray*}$

Ich hab mir nun überlegt, wie man diese UAfgabe lösen könnte.
Bei dem Zähler fiel mir auf, dass man $\begin{eqnarray*} ^{2} \end{eqnarray*}$ als Potenz ausklammern könne. Aber dies ist ja glaub auch nicht wirklich möglich, da es eine Differenz ist und daraus darf man ja bekanntlich nicht kürzen. Und es mit einer binomischen formel zu lösen, wäre auch nicht wirklich möglich weil man dann würde es nach der 3. binom. formel so aussehen:

$\begin{eqnarray*} (a^{-\frac {3}{5}}- b^{-\frac {3}{5}}) * ( a^{-\frac {3}{5}}+ b^{-\frac {3}{5}}) \end{eqnarray*}$

Kürzen könne man da so auch nicht, weil im Nenner:

(b - a) steht und nicht (a - b)
Das Ergebnis soll nach dem Lösungsbogen:

$\begin{eqnarray*} -a^{-\frac {3}{5}}- b^{-\frac {3}{5}} \end{eqnarray*}$

sein. Würde mich freuen, wenn mir einer von euch bei dieser Aufgabe behiflich sein könnte!

Ich konnte leider nicht noch den zweiten Buchstrich einfügen, da er das hier irgendwie falsh darstellt.
\frac {a^{-\frac {5}{6}}) - (b^{-\frac {5}{6}}) (b^{-\frac {3}{5}}- a^{-\frac {3}{5}))

HIer hab ich jetzt noch eine andere Aufgabe, an der ich kläglich gescheitert bin:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{81}{36})^{-7k} : (-\frac{2}{3})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

Hier hab ich mir gedacht, ich kürze erst ein mal die 81 und 36 durch die 9 das sind dann

$\begin{eqnarray*} -(\frac{9}{4})^{-7k} : (-\frac{2}{3})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

Weiter könnte man die 9 in: $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ zerlegen und die 4 in: $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$

dann stünde da, wenn man zusätzlich noch den Kehrwert nimmt:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{3^2}{2^2})^{-7k} * (-\frac{3}{2})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

Nun frag ich mich, was ich jetzt tun soll, weil die Basen im Nenner + Zähler sind zum zweiten Burch verschieden genauso wie die Exponenten.
Ich weiss nicht, ob das jetzt richtig ist, aber ich versuchs mal Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} -(\frac{3^2}{2^2})^{-k} * - (\frac{3^2}{2^2})^{-6k} * (-\frac{3}{2})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin schon mal richtig? Bei den zwei Minusen vor den Klammern wa ich mir unsicher, da - * - ja + ergibt, aber vielleicht behält man es ja bei der Potenzrechnung bei... Nur wie es jetzt weitergehen soll weiss ich nicht. Man hat jetzt ja zumindesz annährend gleiche Nenner und könnte so irgendwie weiterprobieren... Müsste auch eigentlich richtig sein, weil die Basen sind ja alle gleich abgesehen vom Vorzeichen. Könnte man sie eigentlich unter verwendung des Potenzgesetzes (Potenzen mit gleichen Basen...) multiplieren, das drei hoch 2 : 2 hoch zwei mit dem normalen $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ multplizieren, wenn die beiden Vorzeichen gleich wären, weil die Basen wären ja in diesem Fall dann gleich oder?

Wäre auh sehr nett, wenn mir wer von euch erklären könnte, das mit dem Minus vor einer Potenz, weil beispielsweise bei dieser Aufgabe weiss ich dann nie, wie ich jetzt weiterrechnenen soll, da dieses minus dann die base doch nicht gleich zu den anderen macht, um weiterrechnen zu können.

ist das denn so richtig von mir begriffen worden:

$\begin{eqnarray*} -(3)^2 = -9 \end{eqnarray*}$ Ist das Ergebnis dann immer Minus, da

vor der Klammer ein Minus steht?

$\begin{eqnarray*} -3^2 = ? \end{eqnarray*}$ Wonach richtet sich hier das Vorzeichen des

Ergebnisses?

$\begin{eqnarray*} (-3)^2 = 9 \end{eqnarray*}$ Hier richtet sich das Vorzeichen doch

nach dem Exponenten, ob er gerade => +
oder ungerade => - ,oder?

Eine letzte Frage habe ich noch zu einer Aufgabe, bei der selbst meine Mathelehrerin mir nicht sagen konnte, wie man auf das ergebnis im Lösungsbogen

$\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ kommen kann geschweige wie man kürzen kann.

Das hier ist die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1- x^{-1} + x^{-2}} {1-x^{-1}} \end{eqnarray*}$

links neben dem Nenner steht noch $\begin{eqnarray*} 1- \end{eqnarray*}$ .

Unter dem Nenner von
$\begin{eqnarray*} 1-x^{-1} \end{eqnarray*}$ steht noch: $\begin{eqnarray*} 1-(1- x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe meine Probleme richtig beschrieben und die Fragen eindeutig gestellt. Ich konnte nicht wirklich bei zwei der paar Aufgaben mit den Formeleditor so gut umgehen, war mein erstes mal. Augenzwinkern

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn mir einer von euch Helfen könnte!!! Ich weiss es ist etwas viel geworden... Vielen Dank schon mal im Voraus!

Schönen Abend noch!
Gruss
Vierwald

09.12.2005, 22:34

20_Cent

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RE: Fragen zur Wurzel- und Potenzrechnung
Wink

willkommen im Forum!

Zitat:

Original von Vierwald
$\begin{eqnarray*} a^{-\frac {5}{6}}- b^{-\frac {5}{6}} : a^{-\frac {5}{6}}- b^{-\frac {5}{6}} \end{eqnarray*}$

du meinst aber das, oder?
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{-\frac {5}{6}}- b^{-\frac {5}{6}}}{ a^{-\frac {5}{6}}+ b^{-\frac {5}{6}}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich konnte leider nicht noch den zweiten Buchstrich einfügen, da er das hier irgendwie falsh darstellt.
\frac {a^{-\frac {5}{6}}) - (b^{-\frac {5}{6}}) (b^{-\frac {3}{5}}- a^{-\frac {3}{5}))

geschweifte klammern!

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{81}{36})^{-7k} : (-\frac{2}{3})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(\frac{9}{4})^{-7k} : (-\frac{2}{3})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

Weiter könnte man die 9 in: $\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ zerlegen und die 4 in: $\begin{eqnarray*} 2^2 \end{eqnarray*}$

dann stünde da, wenn man zusätzlich noch den Kehrwert nimmt:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{3^2}{2^2})^{-7k} * (-\frac{3}{2})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

du kannst nicht so einfach den kehrwert nehmen!
dann musst du das vorzeichen im exponenten ändern.
kennst du das potenzgesetz:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^c}{b^c}=(\frac{a}{b})^c \end{eqnarray*}$

wende es an.

Zitat:

ist das denn so richtig von mir begriffen worden:

$\begin{eqnarray*} -(3)^2 = -9 \end{eqnarray*}$ Ist das Ergebnis dann immer Minus, da

vor der Klammer ein Minus steht?

richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -3^2 = ? \end{eqnarray*}$ Wonach richtet sich hier das Vorzeichen des

Ergebnisses?

das ist dasselbe wie das darüber...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (-3)^2 = 9 \end{eqnarray*}$ Hier richtet sich das Vorzeichen doch

nach dem Exponenten, ob er gerade => +
oder ungerade => - ,oder?

richtig.

Zitat:

Das hier ist die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1- x^{-1} + x^{-2}} {1-x^{-1}} \end{eqnarray*}$

links neben dem Nenner steht noch $\begin{eqnarray*} 1- \end{eqnarray*}$ .

Unter dem Nenner von
$\begin{eqnarray*} 1-x^{-1} \end{eqnarray*}$ steht noch: $\begin{eqnarray*} 1-(1- x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$

Beschreib das mal genauer bitte.

mfG 20

PS: Schreibe nächstes mal lieber mehrere kleine Beiträge, das ist sehr abschreckend für viele Augenzwinkern

09.12.2005, 23:20

Vierwald

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Hi,
vielen Dank für deine Antwor Ja beim ersten hast du recht, so war die Aufgabe gemeint Augenzwinkern

. Ja das Potenzgesetz kenn ich aber wäre dann nciht trotzdem meine umgedrehte Form richtig, weil ich weiss ja das das minus im Exponent 1/x heisst aber wenn man zuerst lediglich das divisionszeichen beachtet. Wäre dann nciht meine Version richtig? Könntest du mir zeigen, wie das dann aussehen müsste?

So müsste die Aufgabe aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1- x^{-1} + x^{-2}} {1-x^{-1}} \end{eqnarray*}$ .

Ich weiss nicht wie ich jetzt da noch einen Bruch einfügen kann aber ich probier es mal zu erklären. Ich konnte leider den Zähler nicht mit einbinden, daher hab ich jetzt den Nenner des Zählers aufgeschrieben und dessen nenner, also man müsste nur noch den Zähler: $\begin{eqnarray*} { x^{-1} + x^{-2}} \end{eqnarray*}$ oben drauf setzen.
Das ist der Nenner:

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1-x^{-1}} {1-(1-x^{-1})^{-1}} \end{eqnarray*}$

Gruss
Vierwald!

09.12.2005, 23:33

20_Cent

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RE: Fragen zur Wurzel- und Potenzrechnung
mmh... bei deiner ersten aufgabe muss noch was falsch sein, so kann man das nicht viel vereinfachen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -(\frac{9}{4})^{-7k} : (-\frac{2}{3})^{-2k+1} \end{eqnarray*}$

potenzgesetz angewendet: (wenn du den kehrwert bilden willst, dann musst du den exponenten negativ machen, ich mach das mal edit:sry, hab was übersehen, so, wie du es gemacht hast, gehts auch...)

$\begin{eqnarray*} =-((\frac{3}{2})^{2})^{-7k} * (-\frac{2}{3})^{2k-1} \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du noch ein weiteres potenzgesetz benutzen...

Soll die letzte so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{-1}+x^{-2}}{1-\frac{1-x^{-1}} {1-(1-x^{-1})^{-1}}} \end{eqnarray*}$

achja, wenn du die geschweiften klammern richtig setzt, dann funktioniert das auch, zitiere meinen post, um zu sehen, wie das dann aussieht.
mfG 20

09.12.2005, 23:40

Vierwald

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RE: Fragen zur Wurzel- und Potenzrechnung
Hi,
die erste Aufgabe ist nach dem Zettel so richtig geschrieben.Ich versteh nciht, wieso man den Exponenten dann negativ macht, könntest du mir da ein leichteres beispiel für geben?

So sieht die letzte Aufdgabe dann richtig aus. hab eine eins vergessen und dann editiert, hast du dann aber anscheinend nimmer gesehen Augenzwinkern

so sieht sie aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x^{-1}+x^{-2}}{1-\frac{1-x^{-1}} {1-(1-x^{-1})^{-1}}} \end{eqnarray*}$

Gruss
Vierwald!

09.12.2005, 23:54

20_Cent

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zu aufgabe eins: es kommt jedenfalls nicht $\begin{eqnarray*} -a^{-\frac{3}{5}}-b^{-\frac{3}{5}} \end{eqnarray*}$ raus.

das ist auch ein potenzgesetz:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}=(\frac{b}{a})^{-1} \end{eqnarray*}$

bei der komplizierten aufgabe würde ich alle ^(-1) als brüche schreiben, mit der obigen regel.
jetzt im nenner die 1 mit dem nenner im nenner $\begin{eqnarray*} 1-(1-x^{-1})^{-1} \end{eqnarray*}$ erweitern, so dass du das zusammenfassen kannst, dann den gesamten nenner umdrehen und multiplizieren, statt dividieren, usw... (wird langwierig)
mfG 20

10.12.2005, 20:00

Vierwald

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Hi,
danke für dein rasche Antwort!
Ich denke mir sind nun ein paarSachen klargeworden Augenzwinkern

.

Jedoch hab ich noch ein paar Fragen.
Wenn ich beispielsweise die beiden Zahlen hab:

-3^{2} * 3^{3}

Was kann ich dann machen? Weil die beiden Basen sind ja auf Grund des Minus her nicht identisch. ich habe mal gehört, dass man irgendetwas ausklammern kann, weiss aber nicht mehr so genau, ob man das hier anwenden kann. Wenn nicht wäre es seht nett, wenn es mir wer erklären könnte.

Dann hab ich noch eine ganz simple Frage. Wenn ich
x^{-2} hab. Wie würde dann der Nenner aussehen? Wäre der dann 1?

Dann hab ich mich noch mit einer Aufgaben beschäftigt, wäre nett, wenn mir wer sagen könnte, wie ich das rechnen kann, weil ich überhaupt keine Ahnung hatte, da ausklammern di Potenz ja nicht verändern würde....:

1.
$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+1)^{\frac {3}{2}}} {(8x+4)^{\frac {1} {2}}} \end{eqnarray*}$

Gruss
Vierwald!

10.12.2005, 20:18

20_Cent

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Zitat:

Original von Vierwald
-3^{2} * 3^{3}

so, wie es da steht, ist die basis gleich, da das minus außen steht.
wenn es so aussähe: $\begin{eqnarray*} (-3)^2*3^3 \end{eqnarray*}$ , dann kann man $\begin{eqnarray*} (-3)^2 = (-1)^2*3^2 \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zitat:

Dann hab ich noch eine ganz simple Frage. Wenn ich
x^{-2} hab. Wie würde dann der Nenner aussehen? Wäre der dann 1?

ja:
$\begin{eqnarray*} (x)^{-2}=(\frac{x}{1})^{-2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2x+1)^{\frac {3}{2}}} {(8x+4)^{\frac {1} {2}}} \end{eqnarray*}$

im nenner kannst du 4 ausklammern, dann teilweise die wurzel ziehen, dann ganz stark wegkürzen.
mfG 20

10.12.2005, 20:38

Vierwald

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Danke für deine Antwort!
Achso ich habe gedacht, wenn da steht:
$\begin{eqnarray*} -3^{3} * 3^2 \end{eqnarray*}$ sind sie verschieden, da ja das Ergebnis von
$\begin{eqnarray*} -3^{3} = +27 \end{eqnarray*}$ wäre und damit wäre es im Vergleich zum anderen doch negativ. Müsste man jetzt nicht auch (-1) ausklammern, dass dann da $\begin{eqnarray*} -1^{3}* 3^{3} * 3^{2} = -243 \end{eqnarray*}$ oder seh ich das falsch?

Sorry versteh das net so wirklich

Gruss
Vierwald!

10.12.2005, 21:03

mercany

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Wichtig ist, dass die Basis die Selbe ist - unabhängig vom Vorzeichen!

Siehst du ja ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} -3^3 \end{eqnarray*}$ = negatives Ergebnis
$\begin{eqnarray*} 3^2 \end{eqnarray*}$ = positives Ergebnis

Positiv mal Negativ = Negativ

$\begin{eqnarray*} -3^3 \cdot 3^2 \end{eqnarray*}$ nach Potenzgesetz zusammengefasst ergibt $\begin{eqnarray*} -3^5 \end{eqnarray*}$ und das ist auch negativ.

Und wenn du bei $\begin{eqnarray*} -3^3 \end{eqnarray*}$ das Minus rausziehen willst, ist es $\begin{eqnarray*} (-1)\cdot 3^3 \end{eqnarray*}$ .

Und das oben drauf angewendet:

$\begin{eqnarray*} -3^3 \cdot 3^2 = (-1) \cdot 3^3 \cdot 3^2 = (-1) \cdot 3^5 \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

11.12.2005, 14:33

Vierwald

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Hi,
ich glaub ich hab das verstanden,, danke Augenzwinkern

. Ich hab mich jetzt noch mit einer Aufgabe beschäftigt und würde gerne erfahren, was ihr zu meinem Lösungsansatz meint:

$\begin{eqnarray*} \frac{3b-b^{k+2}}{b^{k+1}} - \frac{2-b^{k-1}}{b^{k-2}} \end{eqnarray*}$

zuerst den linken Nenner mit $\begin{eqnarray*} b^{-3} \end{eqnarray*}$ erweitern.

$\begin{eqnarray*} \frac{3b^{-2}-b^{k-1}}{b^{k-2}} - \frac{2-b^{k-1}}{b^{k-2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{3b^{-2}-b^{k-1}}{b^{k-2}} + \frac{-2+b^{k-1}}{b^{k-2}} \end{eqnarray*}$

So weit müsste es glaub ich richtig sein. Nun kürzen sich die beiden $\begin{eqnarray*} b^{k-1} \end{eqnarray*}$ (-1+1=0) weg.

$\begin{eqnarray*} \frac{3b^{-2}-2}{b^{k-2}} \end{eqnarray*}$

Weiter weiss ich im moment auch nicht, aber nach dem Lösungsbogen soll:

$\begin{eqnarray*} (3-2b^{2})*b^{-k} \end{eqnarray*}$

rauskommen. Wäre nett, wenn mir wer sagen könnte, ob ich was übersehen hab oder ob die Lösung im Lösungsbogen falsch ist.

Gruss
Vierwald!

11.12.2005, 14:35

20_Cent

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ist soweit richtig.
erweitere mit b^2, dann haste schon fast die lösung.
mfG 20

11.12.2005, 14:53

Vierwald

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Hi,
habs verstanden.Danke! Darauf wär ich nicht gekommen *g*.

Schönen Sonntag noch!

Gruss
Vierwald!

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