Integration von f(x)=sin^2 (x)

10.12.2005, 13:14	DasPhi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration von f(x)=sin^2 (x) ich will das integral von der funktion $\begin{eqnarray} f(x)=sin^2(x) \end{eqnarray}$ bilden. ich hab dann die partielle integration durchgeführt: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = [sin(x)(-cos(x))] - \int_{}^{}~cos(x)(-cos(x))~dx \end{eqnarray}$ dann hab ich für das hintere intervall nochmal die partielle integration angewendet: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = [sin(x)(-cos(x))] - [cos(x)(-sin(x))] + \int_{}^{}~-sin^2(x)~dx \end{eqnarray}$ wenn ich das jetzt ausrechne, dann kommt da raus $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx =\int_{}^{}~sin^2(x)~dx \end{eqnarray}$
10.12.2005, 13:44	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn du in der vorletzen zeile erst das integral von sin^2(x) auf beiden seiten dazuaddierst und dann durch 2 kürzt, hast du, was du willst
10.12.2005, 13:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ DasPhi Das allerletzte Vorzeichen in deiner Rechnung ist falsch: $\begin{eqnarray} \ldots + \int_{}^{}~ - \sin^2{x}~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Dort muß ein hin, womit die Rechnung dann stimmt, aber leider nicht zum Ziel geführt hat; denn du hast dich nur im Kreise gedreht. Das Ganze funktioniert, wenn du nach der ersten partiellen Integration im verbleibenden Integral $\begin{eqnarray} \cos^2{x} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 1 - \sin^2{x} \end{eqnarray}$ ersetzt. Dann legos Hinweis beachten. Übrigens war genau diese Aufgabe hier im Board schon (mindestens!) viertausendeinhundertundzwölf Mal dran. Verwende die SUCHEN-Funktion.
11.12.2005, 16:32	Marty	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = [sin(x)(-cos(x))] - \int_{}^{}~cos(x)(-cos(x))~dx \end{eqnarray}$ ist bis hier richtig ich mach mal weiter lass die Stammfunktion aber weg! $\begin{eqnarray} = [sin(x)(-cos(x))] + \int_{}^{}~cos^2(x)~dx \end{eqnarray}$ es gilt: cos²(x) + sin²(x) = 1 cos²(x) = 1 - sin²(x) das heisst: $\begin{eqnarray} = [sin(x)(-cos(x))] + \int_{}^{}~1 - sin^2(x)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = [sin(x)(-cos(x))] + \int_{}^{}~1~dx - \int_{}^{}~sin^2(x)~dx \|+\int_{}^{}~sin^2(x)~dx \end{eqnarray}$ Jetzt wieder mit Stammfunktion. $\begin{eqnarray} 2* \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = [sin(x)(-cos(x))] + x \|\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = \frac{1}{2} [sin(x)(-cos(x)) + x] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin^2(x)~dx = \frac{1}{2} [x (- sin(x))cos(x)] \end{eqnarray*}$
11.12.2005, 18:18	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
naja unsauber geschrieben, da du in der ersten zweile auf der rechten seite nicht 1/2 hinschreiben darfst .. \\edit: achso etz hab ichs kapiert ^^ des soll ein ""\|"-[hier steht nun was ich tue]-strich" sein ^^ sorry! das ergebniss stimmt wieder. eine andere, schnellere und elegantere möglichkeit wäre gewesen gleich am anfang $\begin{eqnarray} \sin^2{x} \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot \cos{2x} \end{eqnarray}$ zu ersetzten, dann kannste praktisch in einem schritt integrieren ohne große gehirnakrobatik... servus

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