Faltung

10.12.2005, 15:07	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
Faltung Hallo! Ich möchte gerne die Dichtefunktion von X+Y berechnen, wenn X und Y exponentialverteilt sind - sollte ja eigentlich nicht das Problem sein. Ich berechne also $\begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty }~ae^{-ax}be^{-b(z-x)} ~dx \end{eqnarray}$ . Dabei komme ich dann allerdings an eine Stelle, an der ich den Grenzwert von $\begin{eqnarray} e^{-x(a-b)} \end{eqnarray}$ berechnen muss und der ist ja nur 0, wenn a>b, was i.A. ja nicht so sein muss oder? Sonst wäre der Wert ja unendlich. Ich habe mir auch schon überlegt, dass ich wenn b>a ist das Ganze einfach umdrehen kann, also die Verteilung von Y+X berechne, das würde mein Problem zwar lösen, aber eigentlich kann das doch nicht von dieser Wahl abhängen, es muss doch auch funktionieren, wenn a<b ist..
11.12.2005, 11:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beachte, daß die Dichte der Exponentialverteilung auf $\begin{eqnarray} (-\infty \, , 0 \, ) \end{eqnarray}$ Null ist. Sind also $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ zwei solche Dichten, so gilt, wenn $\begin{eqnarray} z \geq 0 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty}~f(x) \, g(z-x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_0^z~f(x) \, g(z-x)~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Denn für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ verschwindet $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x>z \end{eqnarray}$ verschwindet $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ . Im verbleibenden Intervall $\begin{eqnarray} [0,z] \end{eqnarray}$ gelten jetzt für $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Exponentialformeln. Und was ist für $\begin{eqnarray} z<0 \end{eqnarray}$ ?
11.12.2005, 16:04	PsychoCat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah vielen Dank! Für z<0 müsste das demnach dann auch immer 0 sein oder?

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