Konvergenz einer Reihe mit Cauchy

Neue Frage »

10.12.2005, 17:56	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe mit Cauchy Hallo, es war bestimmt schon da, aber ich habs nicht gefunden... Ich soll also mit dem Cauchy-Kriterium zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{q^k}{k}}\ \ \ \forall q \in \mathbb C \ mit \ \mid q \mid < 1 \end{eqnarray}$ konvergiert. sehe ich das richtig, dass ich jetzt ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ angeben muss, so dass das Cauchykritierium erfüllt ist? Wenn ja, dann weiß ich nicht, wie ich darauf kommen kann... bzw. selbst wenn ich das $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ schon hätte, dann wüsste ich nicht, wie ich zeige, dass das kriterium erfüllt ist... Kann mir bitte jemand nen tipp geben? ich war leider letzte woche krank und bin nicht ganz sicher, ob ich beim nachholen alles verstanden habe... mfG 20
10.12.2005, 18:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Majorante dient hier die geometrische Reihe mit $\begin{eqnarray} \|q\| \end{eqnarray}$ . Falls du es unbedingt mit dem Cauchykriterium zeigen sollst, kannst du das dort auch ausnutzen. Gruß MSS
10.12.2005, 18:30	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich muss es mit dem Cauchy-Kriterium zeigen... was meinst du mit Majorante? Ich weiß ja, dass die geometrische Reihe konvergiert, aber wie nutze ich das aus? mfG 20
10.12.2005, 18:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt für $\begin{eqnarray} m>n \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \left\|\sum_{k=n+1}^m~\frac{q^k}{k}\right\|\leq \sum_{k=n+1}^m~\left\|\frac{q^k}{k}\right\|\leq \sum_{k=n+1}^m~\|q\|^k \end{eqnarray}$ . Da die geometrische Reihe konvergiert, ist sie eine Cauchyfolge. Nutze das nun aus. Gruß MSS
10.12.2005, 18:55	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal, das heißt, ich muss jetzt nur noch ein n0 finden, mit dem die geo. Reihe Cauchyfolge ist? (salopp ausgedrückt...) und das reicht dann? mfg 20
10.12.2005, 19:48	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber das musst du ja nicht explizit finden. Dass das existiert, weißt du ja, weil die geometrische Reihe konvergiert. Gruß MSS
Anzeige

10.12.2005, 19:55	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
bin ich denn dann nicht schon fertig? ich schreibe also $\begin{eqnarray} < \varepsilon \end{eqnarray}$ dahinter, muss ich dann noch was tun, kann doch nicht so einfach sein, oder? mfg 20
10.12.2005, 19:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst schon noch was dazu sagen. "Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig vorgegeben. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} m>n>n_0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^m~\|q\|^k<\varepsilon \end{eqnarray}$ . Dann gilt für diese $\begin{eqnarray} m,n \end{eqnarray}$ aber auch: ..." Jetzt die Ungleichung von oben angeben. So ungefähr sollte das (immer) aussehen. Gruß MSS
10.12.2005, 20:20	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, danke. mfG 20
12.12.2005, 23:45	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe mit Cauchy $\begin{eqnarray} \mid \sum\limits_{k=n}^{m}{\frac{q^k}{k}}\mid\ <\ \mid \sum\limits_{k=n}^{m}{q^k}\mid\ <\ \varepsilon\ \ \ \ \ \forall\ m > n > N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mid q\mid < 1 \end{eqnarray}$ reicht das eigentlich so? müsste doch, oder? da die geometrische reihe eine cauchyreihe ist... und ich jeden summanden größer mache... und damit ist die erste reihe auch cauchyfolge, weil sie immer kleiner ist als das gleiche epsilon... mfG 20
13.12.2005, 00:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Allerdings solltest du die Summation, wie ich oben, bei $\begin{eqnarray} k=n+1 \end{eqnarray}$ beginnen! Gruß MSS
13.12.2005, 00:12	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
cool, dann hab ichs kapiert bei uns im skript steht cauchy so: $\begin{eqnarray} \forall\ \varepsilon > 0\ \exists\ n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid \sum\limits_{k=m}^{n}{a_k}\mid\ <\ \varepsilon\ \ \ \ \forall n\geq m\geq n_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <=> \sum_{k=1}^{\infty}{a_k} \end{eqnarray}$ konvergiert. wozu machst du das n+1? mfG 20
13.12.2005, 00:15	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das ist ziemlich egal. Bei Folgen $\begin{eqnarray} (s_n) \end{eqnarray}$ betrachtet man halt $\begin{eqnarray} \|s_m-s_n\| \end{eqnarray}$ und wenn man da $\begin{eqnarray} s_k=\sum_{i=0}^k~a_k \end{eqnarray}$ einsetzt, bleibt unten als Index $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ . Ist aber letztendlich vollkommen egal. Hauptsache, du hast in der Lösung dann nicht beide Varianten vermischt. Gruß MSS
13.12.2005, 00:17	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ok. danke. mfG 20

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer Reihe mit Cauchy

Verwandte Themen