sattelpunkte, graphisch&rechnerisch

10.12.2005, 18:05

Ari

sattelpunkte, graphisch&rechnerisch

Hey ihr,

hab ne frage zum sattelpunkt (ach neeee was ne überschrift)

okey, in meinem mathebuch steht zum unterschied zwischen wendepunkt und sattelpunkt:
Es liegt nur dann ein Wendepunkt vor, wenn gilt $\begin{eqnarray*} f'''(x_W)\neq0 \end{eqnarray*}$

Da ist auch schon die erste Frage (vielleicht erledigt sich der rest damit):
heißt das generell, dass die dritte ableitung nicht 0 sein darf (beispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ) ODER darf sie speziell an der stelle $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ nicht 0 sein?

meine überlegungen dazu: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ hat ja an der stelle x=0 einen Sattelpunkt (laut wiki) und graphisch abgeleitet hat der graph der 1. ableitung eine nullstelle UND einen extrempunkt bei x=0 (sprich 1. und zweite ableitung sind an der selben stelle 0) => anzeichen für sattelpunkt. wenn ich jetzt aber danach gehe, dass die dritte ableitung $\begin{eqnarray*} f'''(x)=6 \end{eqnarray*}$ ist und ungleich 0 ist, läge dort kein sattelpunkt. nach dem anderen teil des satzes hätte ich als weitere möglichkeit $\begin{eqnarray*} f'''(x)=6\cdot x^0 \end{eqnarray*}$ und setze da dann x=0 ein (was sowieso egal ist). trotzdem besitzt nach meiner rechnung der graph $\begin{eqnarray*} f=x^3 \end{eqnarray*}$ keinen sattelpunkt verwirrt

stehe total auf dem schlauch, bitte helft mir

10.12.2005, 19:25

Thales

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RE: sattelpunkte, graphisch&rechnerisch

Zitat:

Original von Ari
Es liegt nur dann ein Wendepunkt vor, wenn gilt $\begin{eqnarray*} f'''(x_W)\neq0 \end{eqnarray*}$ .

Die Aussage ist schon einmal falsch. Wendepunkte werden im Graphen der ersten Ableitung zu Hochpunkten, und dementsprechend ist $\begin{eqnarray*} f''(x_W)=0 \end{eqnarray*}$ notwendige und $\begin{eqnarray*} f'''(x_W)\neq0 \end{eqnarray*}$ hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt. Bei $\begin{eqnarray*} f'''(x_W)=0 \end{eqnarray*}$ kann grundsätzlich auch ein Wendepunkt gegeben sein, dann muss man z.B. mit Vorzeichenwechselkriterium in der zweiten Ableitung rangehen.
Mit $\begin{eqnarray*} x_w \end{eqnarray*}$ ist dabei, wie schon das "w" im Index andeutet, die spezielle Stelle, an der man einen Wendepunkt vermutet, gemeint.
Und ein Sattelpunkt ist einfach eine spezielle Art von Wendepunkt, bei dem die erste Ableitung gleich Null ist.

10.12.2005, 20:50

mercany

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Überprüfe mal die Rechts- und Linksseitige Umgebung von 0 mittel Vorzeichenwechselkriterium bei der $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

Was fällt dir auf?

Gruß, mercany

10.12.2005, 23:45

Ari

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Zitat:

Überprüfe mal die Rechts- und Linksseitige Umgebung von 0 mittel Vorzeichenwechselkriterium bei der $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

bei f'(x) ja kein problem, denn die funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ steigt nur bis auf diesen punkt x=0 eben. aber wie hilft mir das jetzt weiter? ginge es darum, dass sich das vorzeichen der steigung des graphen f nicht ändert, könnte ich mir $\begin{eqnarray*} f(x)=x^6 \end{eqnarray*}$ nicht erklären..der graph sieht für mich nämlich auch nach sattelpunkt aus. steigung ist negativ für $\begin{eqnarray*} x\leq0 \end{eqnarray*}$ und positiv für $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$ - ?

Zitat:

dementsprechend ist f''(x_W)=0 notwendige und f'''(x_W)\neq0 hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt. Bei f'''(x_W)=0 kann grundsätzlich auch ein Wendepunkt gegeben sein, dann muss man z.B. mit Vorzeichenwechselkriterium in der zweiten Ableitung rangehen.[...]Und ein Sattelpunkt ist einfach eine spezielle Art von Wendepunkt

jetzt verstehe ich auch notwendige und hinreichende bedingung (hoff ich mal). heißt das dort oben dann in anderen worten:

Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt ist $\begin{eqnarray*} f'''(x)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ also ein sattelpunkt an der stelle x=0 vorliegt, ist $\begin{eqnarray*} f'''(0)=6\cdot0^0=0 \end{eqnarray*}$ stimmt das/darf ich so vorgehen?

also jetzt f''(x) verwirrt

$\begin{eqnarray*} f''(x)=6x\Rightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ und um jetzt den VZW zu untersuchen setze ich $\begin{eqnarray*} x=-0,1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0,1 \end{eqnarray*}$ ein, von negativ zu positiv > von einer rechts- in eine linkskurve. was sagt mir das über einen sattelpunkt?

tut mir leid für die vielen fragen aber irgendwas in meinem kopf wehrt sich gegen diesen blöden sattelpunkt unglücklich

11.12.2005, 11:26

mercany

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Hallo Ari!

Wir haben ja schon gesagt, dass der Sattelpunkt ein Spezialfall des Wendepunktes ist.
Er hat nämlich die Steigung null (die 1. Ableitung ist also Null), es liegt also in der Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ keine Vorzeichenwechsel vor.

Hinreichend für einen Sattelpunkt ist: $\begin{eqnarray*} f''(x_W)=0 \wedge f'''(x_W) \neq 0 \wedge f'(x_W)=0 \end{eqnarray*}$

Die erste und die zweite Ableitung müssen also Null sein!

Schauen wir uns nochmal $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ an:

Du siehst, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ einen Sattelpunkt besitzt und zwar auf der x-Achse. Im Plot habe ich die Funktion um $\begin{eqnarray*} +1 \end{eqnarray*}$ auf der y-Achse verschoben, damit es etwas deutlicher wird.

Wenn du dir jetzt mal die 1. Ableitung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ anschaust, siehst du das es eine Normalparabel ist. Diese hat an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_W \end{eqnarray*}$ eine doppelte NST, sprich sie ändert ihr Vorzeichen nicht. Du hast also die Bestätigung für deine Vermutung!

Gruß, mercany

11.12.2005, 12:11

Thales

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Zitat:

Original von Ari
Notwendige Bedingung für einen Sattelpunkt ist $\begin{eqnarray*} f'''(x)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, notwendige Bedingung ist $\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ari
Wenn bei $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ also ein sattelpunkt an der stelle x=0 vorliegt, ist $\begin{eqnarray*} f'''(0)=6\cdot0^0=0 \end{eqnarray*}$ stimmt das/darf ich so vorgehen?

Nein, so darfst Du nicht vorgehen, Du dürftest es nicht einmal, wenn Deine notwendige Bedingung richtig wäre. Die zweite Ableitung ist nämlich $\begin{eqnarray*} f''(x) = 6x \end{eqnarray*}$ , also eine Gerade. Und als solche hat sie natürlich auch an der Stelle x=0 die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'''(0) = 6 \end{eqnarray*}$ . Dein $\begin{eqnarray*} 0^0=0 \end{eqnarray*}$ wird Dir kein Taschenrechner durchgehen lassen.

11.12.2005, 22:05

Ari

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arg 0^0 war bei mir schon immer 0 Hammer

Habs jetzt verstanden, vielen lieben Dank, Thales und mercany!

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