logarithmus naturalis aus Summe |
| 11.12.2005, 12:00 | somewhatme | Auf diesen Beitrag antworten » |
| logarithmus naturalis aus Summe e^x=5x+x^2 den logarithmus naturalis anwende, dann bekomme ich ln(e^x)=ln(5x+x^2) bzw. x=ln(5x+x^2). Meine Frage: Gillt ln(5x+x^2)=ln(5x)+ln(x^2), also dass ich schreiben könnte: x=ln(5x)+ln(x^2)? Nein, oder? Statt ln(x^2) könnte ich ja ansonsten 2ln(x) schreiben, aber das ist ja dann auch nicht möglich? |
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| 11.12.2005, 12:05 | GastSephiroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles was du gesagt hast ist richtig. Ich mein ln(a + b) ist nicht ln(a) + ln(b) Wenn du hättest (wenn!) wie du gesagt hast kannst du sagen ln(x^n) = n ln(x) |
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| 11.12.2005, 12:08 | somewhatme | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke, diese Bestätigung war alles, was ich brauchte! 
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| 24.01.2009, 18:43 | GastSephiroth | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ln(x^n) ist schon n*ln(x), aber ln(a+b) ist nicht gleich ln(a)+ln(b), sondern ln(a*b)=ln(a)+ln(b). e^x=5x+x^2 Kannst du zu x=ln(5x+x^2) umformen, dass ist soweit richtig. Sei das x einmal positiv, dann gilt noch: ln(5x+x^2) = ln(x(5+x)) = ln(x)+ln(5+x) = ln(x)+ln(x)+ln(1+5/x) = 2*ln(x)+ln(1+5/x). Damit kommst du dann höchstens auf x = 2*ln(x) + ln(1+5/x) Aber das wird dir wohl auch nicht viel nutzen. Man könnte nun höchstens Abschätzen, wenn man das x wieder als positiv und größer 1 voraussetzt. x = 2ln(x) + ln(1+5/x) < 2ln(x) + ln(6) Hier wäre es aber erst einmal sinvoll sich die Gleichung e^x=5x+x^2 anzusehen. Oder besser 0=x^2+5x-e^x. Die Funktion e^x wächst schneller als x^2, daher gibt es für genügend große x keine Lösungen mehr. Man stellt schnell fest, dass x^2+5x-e^x < 0 für alle x größer oder gleich 4. Ähnliche Überlegungen zeigen auch, x^2+5x-e^x > 0 für alle x kleiner oder gleich -6. Damit gibt es also höchstens Lösungen für x im Intervall [-6,4]. Untersucht man noch die Wendepunkte, so sieht man, dass es genau 3 Nullstellen in diesem Intervall geben muss. Solche Gleichungen lassen sich aber nicht so einfach Auflösen. Es geht, jedoch braucht man dazu die sogenannte Lambert(sche)-W Funktion bzw. Omega-Funktion. Das führt hier aber denke ich zu weit. Die Lösungen lassen sich aber numerisch recht leicht Approximieren und lauten x = -5.001345415... x = 0.2432421323... x = 3.317626595... Mfg till |
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