Konvergenz einer Reihe

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el_studente Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe
Hallo,

kann mit folgenden Aufgaben nicht so richtig was anfangen:

1.) Gegeben ist a_n als eine beschränkte Folge reeller Zahlen. Zeige, dass die
Reihe
für alle mit absolut konvergiert.


Die x^n gehen für die genannte Bedingung logischerweise gegen 0.


2.)Zeige, dass die Reihe
konvergent, aber nicht absolut konvergent ist.


Also für mich ist die Reihe auch absolut konvergent?!?!

Hoffe auf Hilfe und sage schon mal DANKE!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Also für mich ist die Reihe auch absolut konvergent?!?!


Für mich nicht. Schreibs mal ordentlich hin.

Stichwort Harmonische Reihe bzw. die Form



Für welche alpha konvergiert die Reihe ? Augenzwinkern


Zitat:
Die x^n gehen für die genannte Bedingung logischerweise gegen 0.


Daraus folgt noch lange nicht das die Reihe konvergiert. Bei der harmonischen Reihe gehen die Glieder auch gegen 0. Musste sauberer Argumentieren, vor allem die beschränktheit von ausnutzen.
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

zu 2.)

Aber es heißt doch:
Absolute Konvergenz liegt vor, wenn die aus den Beträgen der Glieder einer Reihe neu gebildete Reihe konvergiert.

Und genau das ist doch hier der Fall! Oder warum nicht?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

die Reihe



divergiert.

mfG 20

edit: was ich damit sagen will: für konvergiert sie nicht...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und genau das ist doch hier der Fall! Oder warum nicht?




Und die Reihe divergiert. Warum das sagst Du mir jetzt.
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Würde sagen, weil die Folge der Reihenglieder keinen Summenwert besitzt.
Oder anders ausgedrückt:
Der Summenwert strebt keiner betimmten Zahl entgegen.

Bei einer konvergenten Reihe wird der Summenwert zwar auch immer größer, strebt aber einer bestimmten Zahl entgegen.

Korrekt?
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der Summenwert strebt keiner betimmten Zahl entgegen.


Warum?
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist für mich die Schlußfolgerung aus dem, was in den diversen Büchern zu diesem Thema steht, welche gerade um mich verteilt herumliegen.

Also nich korrekt????
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist insofern korrekt als das divergent genau das ist was Du sagtest. Ich würde Dir trotzdem 0 Punkte geben da Du auch beweisen solltest warum die Reihe divergiert (keinen Summenwert hat).

Tip:

Abschätzung mittels harmonischer Reihe
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Reihe mit 1/n benutzen.
Wie sieht so eine Abschätzung aus?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du kennst das Majoranten/Minorantenkriterium?
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

Hab schon mal davon gehört aber es net richtig verstanden, da in meinen tollen Büchern zwar diverse hyroglyphenverseuchte Definitionen / Sätze dazu stehen aber leider kein konkretes Beispiel (was ein grundsätzliches Problem von derartigen Büchern zu sein scheint).
Auch der Proffff in der Vorlesung hat es nicht so mit Beispielen.

Hast Du ein Bsp. parat (ein Link würde mir auch genügen)?
Habe selber noch keins gefunden.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist das man versucht die Folge durch eine andere zu ersetzen so das die Untersuchung einfacher ist.

Wenn ab einem bestimmten n die folge b_n kleiner als a_n ist und b_n divergent ist muss auch a_n divergent sein.

Ist umgekehrt die Folge b_n größer als a_n und konvergent so muss a_n konvergieren.

Jetzt musste nur noch ne Folge finden die kleiner ist als und dafür die konvergenz der zugehörigen Reihe untersuchen. Die Folge haben wir übrigens schon mehrmals hier genannt.
el_studente Auf diesen Beitrag antworten »

für alle n>1
Zu zeigen, dass 1/n divergent ist, krieg ich hin!
Ich schreib dann noch Minorantenkr. daneben und wäre fertig?


Schreibfehler: x soll natürlich n sein

edit: Doppelpost zusammengefügt, du kannst deine Beiträge auch editieren! (MSS)
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Bei 1) hilft das Majorantenkriterium oder die Formel von Cauchy-Hadamard für den Konvergenzradius.

Gruß MSS
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

kann man 1) auch so zeigen, dass man die a_n alle gegen die obere Grenze von a_n abschätzt und dann insgesamt vor die Summe zieht und dann hat man einen festen Wert * geometrische Reihe - ist konvergent - also eine konvergente Majorante... ?!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das meinte ich, als ich Majorantenkriterium sagte. Freude
Allerdings immer dran denken: Schön mit Beträgen arbeiten!

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

also ich will das zu 1) nochmal kurz zusammenfassen wenn ich das richtig verstanden habe.
Vor die Summe ziehen: .
Für konvergiert die geom. Reihe .
D.h. dann muss auch diese Reihe konvergieren, da
Das wäre dann aber eher das Minorantenkriterium, wobei die geom. Reihe die Minorante ist, oder?
Also in dem Fall, wenn ein fester Wert ist.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das hast du leider völlig falsch verstanden! Natürlich darfst du nicht vor die Summe ziehen, das ist ja abhängig von !!! Was gemeint war, ist folgendes: Es existiert zunächst eine reelle Zahl , sodass für alle gilt:

.

Und jetzt zeigt man die absolute Konvergenz so:

.

Die letzte Reihe konvergiert, also konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ah, jetzt ok
meinte natürlich mit dem a vor der Summe den Grenzwert, nicht die Folge.
Was ist dann in dem Fall die Majorante? Diese Reihe oder? Also nicht die geom. Reihe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber es ist ja letztendlich nur die geometrische Reihe, multipliziert mit einer Konstanten.

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ja eben, aber deswegen ist das ja trotzdem dann größer mit der Konstante.

also hier hab ich stehen:

konvergiert , so auch und ist eine konvergente Majorante.

Also würde das der Satz doch zutreffen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wobei deine Aussage, dass diese Reihe dann größer ist, nicht korrekt ist. Sie kann größer sein. Wenn aber , dann ist sie es nicht.

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

hm da hast recht, aber wenn´s kleiner 1 ist dann ist´s doch keine Majorante? Oder müsste man dann die geom. Reihe als Majorante sehen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist es trotzdem eine Majorante. Warum sollte es keine sein?

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

weils dann kleiner ist
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Als was? Es gilt doch trotzdem noch die Abschätzung



und die letzte Reihe konvergiert, egal welche reelle Zahl ist.

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok, aber was hat das dann mit dem Majorantenkriterium zu tun? Das sagt doch eigentlich aus, dass eine Reihe, die kleiner oder gleich groß ist wie z.b. die geom. Reihe auch konvergiert, wenn die geom. Reihe konvergiert oder nicht? Dann müsste das a doch kleiner 1 sein oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber es muss ja nicht die geometrische Reihe sein. Das Majorantenkriterium sagt:
Wenn für alle ist und konvergiert, dann konvergiert absolut.
In unserem Fall ist und .

Gruß MSS
flush Auf diesen Beitrag antworten »

achso damit wird das dann verglichen, ich dachte das wird mit der geom. Reihe allein ohne das a verglichen.
buörnz Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe das folgendermassen interpretiert:
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen:
Falls die Folge {an} monoton gegen 0 strebt, so ist die alternierende Reihe
Summe[(-1)^k * an] konvergent.
Da 1/sqrt(n+1) < 1/sqrt(n).... sprich das Folgeglied
kleiner als das Vorherige ist-->monotonie... lim(n-->unendlich) 1/sqrt(n)=0

Absolute konvergenz:
Eine Reihe Summe[an] heißt absolut konvergent, wenn die Reihe Summe [|an|]
konvergiert.
Jetzt gilt 1/sqrt(n) > 1/n...... Summe[1/n] ist die harmonische Reihe(divergent)

Minorantenkriterium:
Hat eine Reihe eine divergente Minorante, so ist sie nicht absolut konvergent.

Summe[1/n] ist die divergente Minorante
--> Reihe ist konvergent, jedoch nicht absolut konvergent.
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