Beweisen, dass Komposition injektiv / surjektiv

03.05.2008, 12:07

donvito

Beweisen, dass Komposition injektiv / surjektiv

Hallo Community,

ich habe die Aufgabe zu zeigen, dass wenn f ung injektiv (surjektiv) sind, dies auch für die Komposition F(g(x)) gilt. Rein logisch ist mir dies bereits klar, denn es wird ja erstmal g(x) berechnet und wenn diese Abbildung injektiv ist, und die von f auch, dann kann das Ergebnis ja nur injektiv sein.

Nun ist mein Problem: Wie schreibe ich das halbwegs mathematisch hin? Unser Tutor legt da sehr Wert drauf...

03.05.2008, 12:14

aRo

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hallo!

Betrachte:
$\begin{eqnarray*} f(g(x))=f(g(y)) \end{eqnarray*}$

Gilt hier zwingend, dass x=y ist, dann ist deine Komposition auch injektiv.
Kannst du das zeigen?

03.05.2008, 12:42

donvito

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Tja... Viel fällt mir dazu nicht sein...
wenn g(x) = g(y) dann muss g injektiv sein. Das ist ja bereits gegeben . f ist ebenfalls injektiv...
Kann mir da noch jemand auf die Sprünge helfen? Und wie lautet der Ansatz für die Surjektivität?

03.05.2008, 13:08

aRo

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eigentlich ist das nicht schwer.

$\begin{eqnarray*} f(g(x))=f(g(y)) \Rightarrow g(x)=g(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

Weißt du warum die Umformungen gelten?

03.05.2008, 13:17

donvito

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Natürlich aufgrund der Injektivität. Die sagt ja aus, dass aus x != y folgt f(x) != f(y), dass also jedes x sein "eigenes" f(x) besitzt. Du hast das einfach nur umgedreht und gesagt, wenn zwei Funktionswerte gleich sind, dann müssen bei injektiviät auch die x-Werte gleich sein.

Ich versuche mich jetzt mal an der Surjektivität:
Surjektiv heißt: Jedes f(x) besitzt ein x, dass auf dieses f(x) abbildet. Es existieren also sämtliche Werte von f(x).

Das heißt es gibt kein f(x), und kein g(y) auf das nicht ein x bzw. y abbildet. Dann gibt es auch kein f(g(y) auf das kein y abbildet...

Auch hier wieder mein Problem das in Formeln zu fassen...

03.05.2008, 13:30

tmo

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Zitat:

Original von donvito
Ich versuche mich jetzt mal an der Surjektivität:
Surjektiv heißt: Jedes f(x) besitzt ein x, dass auf dieses f(x) abbildet.

Das ist unsauber formuliert. Du solltest es mal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} f: X \mapsto Y \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ existiert mit: $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$

Nun betrachtest du die surjektiven Abbildungen
$\begin{eqnarray*} f: B \mapsto C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: A \mapsto B \end{eqnarray*}$

und willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \circ g: A \mapsto C \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ beliebig. Folgere nun (unter Benutzung dass f und g surjektiv sind), dass dann ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ existiert mit: $\begin{eqnarray*} (f \circ g)(a)=f(g(a)) = c \end{eqnarray*}$

PS: was hatte das im Bücher- und Softwareforum zu suchen? verwirrt

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