Vollständige Induktion

11.12.2005, 15:30

VinSander82

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k!*k = (n+1)! - 1 \end{eqnarray*}$

kann mir da jmd. helfen

IA wäre n=1

muss heraus finden für welche natürlichen Zahlen dies gilt mit beweis

MfG VinSander

11.12.2005, 15:51

20_Cent

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dann probiere erstmal ein paar aus, und mache dann induktion, wo liegt das problem?
mfg 20

12.12.2005, 20:14

VinSander82

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jo , also wenn ich für n= 1 einsetze , dann ist dass schon mal richtig und kann zur Induktionsvoraussetzung, dieses wär kein prob weil (1+1)1 - 1 = 1 ist und somit in Ordnung

jetzt kommt noch induktionsschluss:

muss jetz noch beweisen , dass (n+1) für n einsetzten, somit erhalten wir

((n+1)+1) ! -1

ist dass bis jetzte richtig

LG Vinsander

12.12.2005, 20:17

Frooke

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Ja, und weiter?

Denk daran, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}\bigg( k! \cdot k\bigg) = \sum\limits_{k=1}^{n} \bigg(k! \cdot k\bigg) + (n+1)!(n+1) \end{eqnarray*}$

Dann benutzt Du das oben gezeigte...

EDIT: Klammer richtig gesetzt

25.09.2009, 17:33

VinSander82

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wie kann nich das zeigen, darf man einfach mit der Fakultät hineinmultiplizieren?

muus es nicht heissen $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k!*k + (n+1)!*(n+1) = (nach IV) (n+2)! - 1 \end{eqnarray*}$

25.09.2009, 23:09

kiste

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Um mal von der Induktion wegzukommen(ieh Augenzwinkern

):
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k!\cdot k =\sum_{k=1}^n k!\cdot (k+1-1) = \sum_{k=1}^n (k+1)! -\sum_{k=1}^n k! \end{eqnarray*}$
Und da haben wir ne Teleskopsumme

27.09.2009, 13:12

VinSander82

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ok , vielleicht kann mir jemand ein anderes beispiel für eine voll. induktion geben, damit ich das verstehe...mir ist das mit der fakultät noch nicht so ganz klar

ich versuche dann diesen von euch zu lösen

27.09.2009, 13:18

VinSander82

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ach oder egal.

aldo

IA: für n=1 gilt, $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^1~ 1!*1 =(1+1)-1 \end{eqnarray*}$

(=) 1*1 = 2*1-1

(=) 1= 1

also das schonmal richtig

IV: Für ein n $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N soll gelten:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~k!*k = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

IS: so nun zum schluss für n --> n+1

und dat ist für mich unschlüssig

28.09.2009, 20:46

kiste

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Schauen wir mal das du die Aufgabe nach knapp 4 Jahren noch schaffst.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k!\cdot k = \sum_{k=1}^{n} k!\cdot k + (n+1)!(n+1) = ... = (n+2)! - 1 \end{eqnarray*}$
Bei ... musst du nur noch die IV einsetzen und dannach (n+1)! ausklammern.

29.09.2009, 14:34

VinSander82

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ha ha, ich bin nur bissl eingerostet.. böse

ich stell mich nur die frage, wie man allgemein mit fakultäten in klammern, wie jetzt hier rechnet.. oder muss man die kaum Beachtung schenken mit der fakultät

29.09.2009, 18:21

kiste

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"wie man allgemein mit fakultäten in klammern, wie jetzt hier rechnet"
Wie bitte?

Und das war nicht böse gemeint mit den 4 Jahren

30.09.2009, 00:15

VinSander82

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Zitat:

Original von kiste
"wie man allgemein mit fakultäten in klammern, wie jetzt hier rechnet"
Wie bitte?

Und das war nicht böse gemeint mit den 4 Jahren

also wollte nur fragen, wie ich das ausklammern kann mit dieser fakultät, was soll ich beachten?

kein ding, weiss ich ja Freude

30.09.2009, 08:26

kiste

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Da muss man nichts beachten, (n+1)! ist ein normaler Term. Wenn du dich unwohl fühlst setze einfach x=(n+1)! und klammer dann x aus.

30.09.2009, 14:19

VinSander82

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also um mir das zu verdeutlichn, weil ich anscheinend zu blöd bin, habe icvh mir für n= 2 ausgesucht, und das nun für n eingesezt

ich bekommen jedoch bei derAusrechnung von (n+1)! + (n+1) = (n+2)! -1

auf beiden seiten nicht dasselbe raus, undzwra kommt dabei raus 18 = 23, und das ist falsch

30.09.2009, 14:24

kiste

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Ja das liegt in der Tat daran dass die beiden Terme nicht gleich sind.
Wie kommst du auf den linken Term?
Schau dir nochmal meinen Beitrag vom 28.09 genau an und setze dort die IV einmal ein

30.09.2009, 14:32

VinSander82

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Zitat:

Original von kiste
Schauen wir mal das du die Aufgabe nach knapp 4 Jahren noch schaffst.

Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k!\cdot k = \sum_{k=1}^{n} k!\cdot k + (n+1)!(n+1) = [latex]\sum_{k=0}^n~k!k = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$ = (n+2)! - 1[/latex]
Bei ... musst du nur noch die IV einsetzen und dannach (n+1)! ausklammern.

den linken Term hab ich aus dem IS, wieso? ist daran was falsch, ich erkenne nichts

30.09.2009, 14:35

kiste

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Ich kann mir nicht mal im entferntesten vorstellen wie man auf (n+1)! + (n+1) kommt. Somit: Ja daran ist etwas falsch.

Wir haben doch:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} k!\cdot k = \sum_{k=1}^{n} k!\cdot k + (n+1)!(n+1) \end{eqnarray*}$
und jetzt benutzen wir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k!\cdot k = (n+1)! - 1 \end{eqnarray*}$ . Was kommt also raus?

30.09.2009, 15:03

VinSander82

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(n+1)! -1 + (n+1)! * (n+1) = 2(n+1)! * (n+1)-1

nebenbei ist (n+2)! -1 = 2n (n+1)! -1 ?

30.09.2009, 15:07

kiste

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Nein!
Der Anfang stimmt wenigstens, wir müssen $\begin{eqnarray*} (n+1)! -1 + (n+1)! * (n+1) \end{eqnarray*}$ weiterberechnen.
Jetzt schieben wir die -1 mal ganz rechts hin, die brauchen wir momentan nicht:
$\begin{eqnarray*} (n+1)! -1 + (n+1)! * (n+1) = (n+1)!+ (n+1)! * (n+1) \quad - 1 \end{eqnarray*}$
Jetzt wird (n+1)! ausgeklammert. Zur besseren Übersicht setzen erstmal x=(n+1)!.
Dann haben wir:
$\begin{eqnarray*} x+ x * (n+1) \quad - 1 = ? \end{eqnarray*}$

30.09.2009, 15:16

VinSander82

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x + xn + x -1 = 2x +xn -1

wieder einsetzten für x = (n+1)!

also = 2 (n+1)! + n(n+1)! -1

30.09.2009, 15:20

kiste

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Richtig, bringt dich aber nicht weiter. Du sollst ausklammern, nicht ausmultiplizieren Augenzwinkern

30.09.2009, 15:33

VinSander82

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pah du hattest recht mit den vier jahren. das ist echt nicht normal bei mir unglücklich

also ausgeklammert würde rauskommen x(n+2) -1

30.09.2009, 17:12

kiste

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Ok stimmt.
Jetzt machen wir die Rücksubstitution und bekommen
(n+1)!*(n+2) - 1
Jetzt benutzen wir die Defintion der Fakultät und schwups sind wir bei (n+2)!-1

30.09.2009, 17:56

VinSander82

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so viel geduld mit mir gehabt, DANKE

du bist der Beste auf der Welt

(n+3) ! wäre laut def. dann (n+1)! * (n+3) * (n+2)

nur nochmal , damit ich da verstanden habe

30.09.2009, 20:50

kiste

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Stimmt

01.10.2009, 10:26

VinSander82

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Super, danke danke danke Prost

ich habe mir in der zeit ein paar aufgben angeschaut und auch gelöst ohne probleme, ausser einer habe ich alles richtig :

da will einfach nicht dasselbe ergebnis raus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

so IA und IV ist ja klar, aber bbeim IS muss ich zeigen , dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~i^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

nach der IV kommt dabei heraus $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$

ist aber nicht dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

denn für $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac {2n^{3}+8n^{2}+10n+4}{6}= \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2n^{3}+9n^{2}+13n+6}{6} \end{eqnarray*}$

hab mehrmals immer dasselbe rausbekommen

02.10.2009, 12:07

VinSander82

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na kann mir da vielleicht jemand weiter helfen, thx vinni

02.10.2009, 12:11

kiste

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Zitat:

Original von VinSander82
so IA und IV ist ja klar, aber bbeim IS muss ich zeigen , dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~i^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

Nö das musst du nicht zeigen, schau nochmal genau da hin Augenzwinkern

02.10.2009, 12:33

VinSander82

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doch denke schon, hab mich nur oben vertippt

02.10.2009, 12:47

klarsoweit

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Da denkst du falsch. Setze mal in $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ für jedes n den Ausdruck (n+1) ein. smile

02.10.2009, 15:07

VinSander82

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oh man, bin ich blind, jetzt ist alles klar, hab's jetzt auch raus und auf beiden seiten dasselbe.

also müsste heissen $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~i^{2} = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \end{eqnarray*}$

flüchtigkeitsfehrler, totale katastrophe , aber so kann ich wenigstens gut üben Hammer

02.10.2009, 15:34

VinSander82

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ich trau mich kaum, aber ich hätte noch ein anliegen

undzwar muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n-1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

IA und IV sind klar, nur wieder der IS

zu zeigen ist dann hier $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{(n+1)-1}{2(n+2)} \end{eqnarray*}$

da komm ich wieder nicht auf dasselbe für beide seiten

02.10.2009, 16:46

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Dann hast du dich irgendwo verrechnet. Ohne Ausbreitung deiner Rechnung kann ich natürlich mehr nicht sagen.

02.10.2009, 17:22

VinSander82

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{n+1}~\frac{1}{k(k+1)} =\sum_{k=2}^{n}~\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

und da kommt halt nicht das erebnis raus was zu zeigen ist

nach IV kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

hier der gleich nenner ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n+2)+2}{2(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+n}{2(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

da komm ich absolut nicht zum ergebnis

wieso passt das nicht zur vollst. ind.?

02.10.2009, 17:24

kiste

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ohne Ausbreitung deiner Rechnung kann ich natürlich mehr nicht sagen.

(Übrigens schon wieder eine Aufgabe wo vollständige Induktion fehl am Platz ist)

03.10.2009, 12:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von VinSander82
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n+2)+2}{2(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+n}{2(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

da komm ich absolut nicht zum ergebnis

Klammer mal im Zähler ein n aus. Augenzwinkern

04.10.2009, 14:05

VinSander82

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war ja klar , dass ich wieder total blind war

man man, dankle hab's natürlich raus.

manchmal macht man es sich echt schwer , obwohl es ein peanut ist

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