Ordnung G ist Primzahl,...

03.05.2008, 12:51

Fletcher

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Ordnung G ist Primzahl,...

Guten Tag,

es ist mir fast schon peinlich überhaupt so eine Anfrage hier zu starten, aber dennoch komme ich bei dieser Art von Aufgaben einfach nicht weiter.

Sei G eine endliche Gruppe von Primzahlordnung, d.h. |G|=p mit p Primzahl. Zeigen Sie, dass G eine zyklische Gruppe ist.

Ich habe jetzt das Skript etwas gewältzt und habe bisher notiert, dass also $\begin{eqnarray*} g^p=e_G \end{eqnarray*}$ gilt und dass man daraus folgern soll, dass
$\begin{eqnarray*} G=<g>=\{g^k | k \in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt: Wie komme ich weiter?

03.05.2008, 13:01

therisen

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Wähle ein von $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ verschiedenes Element und betrachte die von diesem Element erzeugte Untergruppe (Satz von Lagrange).

04.05.2008, 08:35

Fletcher

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HI,

also wenn ich ein Element hernehme und die Untergruppe betrachte, dann komme ich auf eine Ordnung p-1 für diese Untergruppe.

Als Beispiel habe ich mir das mal so überlegt: Wähle $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

und betrachte die von dem Element 3 erzeugte Untergruppe <3>:

$\begin{eqnarray*} 3^0=1; 3^1=3; 3^2=9mod5=4; 3^3=27mod5=2 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} <3>=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ und die Ordnung 4, doch 4 teilt nicht 5. Ich denke mal das ich es nicht richtig verstanden habe und das hier einige Fehler drin sind.

04.05.2008, 09:53

therisen

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Zitat:

Original von Fletcher
Wähle $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$

und betrachte die von dem Element 3 erzeugte Untergruppe <3>:

$\begin{eqnarray*} 3^0=1; 3^1=3; 3^2=9mod5=4; 3^3=27mod5=2 \end{eqnarray*}$

Nein! $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5=\{0,1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ ist mit der Addition eine Gruppe! Nicht mit der Multiplikation! Die Ordnung jeder Untergruppe teilt die Gruppenordnung. Welche Teiler hat eine Primzahl? ...

04.05.2008, 10:59

Fletcher

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Hi,

naja das ist schon klar eine Primzahl hat als Teiler sich selbst oder eben die Eins. Ich weiß auch, dass du einfach darauf hinausmöchtest, dass die Ordnung jedes Elements g in dieser Gruppe die gleiche Ordnung hat wie die Gruppe => G ist zyklisch.

Wie kann ich denn mein Beispiel modifizieren? Und warum ist das denn so?

04.05.2008, 11:01

therisen

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Zum zweiten Mal: Du betrachtest die Multiplikation; damit wird die Menge aber keine Gruppe! Was ist denn das multiplikativ Inverse von 0?

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04.05.2008, 11:08

Fletcher

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Ja gibts nicht, aber was mach ich denn jetzt? Soll ich die 0 einfach aus der Menge schmeißen damit es wieder passt.

04.05.2008, 11:26

kiste

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Nein du sollst die Beiträge lesen die für dich geschrieben werden.
therisen hat doch bereits erwähnt das es mit der Addition eine Gruppe ist und nicht mit der Multiplikation.

In dem Fall bedeutet $\begin{eqnarray*} g^k = \underbrace{g+\ldots+g}_{k-mal} \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 11:35

AD

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Die Multiplikationsgruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^* \end{eqnarray*}$ ist überhaupt ein denkbar schlechtes Beispiel für so ein $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ :

Lediglich für $\begin{eqnarray*} m=3,4,6 \end{eqnarray*}$ ist deren Gruppenordnung $\begin{eqnarray*} \varphi(m) \end{eqnarray*}$ eine Primzahl (nämlich gleich 2), sonst nicht.

04.05.2008, 11:53

therisen

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Ich empfehle dir auch mal diesen Thread zu lesen: Erzeuger bei Gruppen

04.05.2008, 21:19

Fletcher

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Zitat:

Original von kiste
Nein du sollst die Beiträge lesen die für dich geschrieben werden.
therisen hat doch bereits erwähnt das es mit der Addition eine Gruppe ist und nicht mit der Multiplikation.

In dem Fall bedeutet $\begin{eqnarray*} g^k = \underbrace{g+\ldots+g}_{k-mal} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für die Antwort, ich wusste einfach nicht, dass man $\begin{eqnarray*} g^k \end{eqnarray*}$ auch so interpretieren kann. Also immer bzgl. der Verknüpfung. Das steht leider auch gar nicht im skript.

Zum Beweis:
Ich habe mir das jetzt so überlegt: Nach Lagrange teilt die Ordnung der Untergruppe die Ordnung von G, also betrachte ich z.b. die Untergruppe $\begin{eqnarray*} <g> \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ , da nun $\begin{eqnarray*} |<g>|~ teilt~ |G| \end{eqnarray*}$ gilt, kommt für $\begin{eqnarray*} |<g>| \end{eqnarray*}$ nur eine Primzahl oder die 1 in Frage. Aus diesem Grund gilt also das die Ordnung von <g> ebenfalls p sein muss. Und daraus folgt die Behauptung, also das <g>=G ist.

04.05.2008, 21:41

therisen

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Du musst schon $\begin{eqnarray*} g\neq e \end{eqnarray*}$ wählen, sonst gilt $\begin{eqnarray*} |\langle g\rangle|=1 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten hast du nur meinen ersten Beitrag ausformuliert. Das genügt allerdings als Beweis Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2008, 07:18

Fletcher

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Augenzwinkern

Naja wenigstens habe ich es verstanden.

Mal noch ne andere Kleinigkeit, wenn mann zeigen soll dass $\begin{eqnarray*} <6> | <30> isom. \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ ist, würde ich gerne mal wissen ob mit <6> dann unendliche Gruppen berschrieben werden oder ob man da auch in irgendeiner Form modulo rechnen muss?! Die Verknüpfung ist hier nicht angegeben.

Danke

05.05.2008, 07:28

kiste

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Wenn das wirklich die Aufgabe ist dann schreibst du hin das die Aufgabenstellung unverständlich ist geschockt

geschockt

Aber ich glaube kaum das die Aufgabenbeschreibung so ist.
Vielmehr sollst du das Erzeugnis von $\begin{eqnarray*} \overline 6 \in \mathbb Z_{30} \end{eqnarray*}$ betrachten und zeigen das dieses isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ ist

05.05.2008, 16:46

Fletcher

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Original-aufgabenstellung:

Betrachte die Untergruppen <6> und <30> von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass gilt: $\begin{eqnarray*} <6> / <30> ~iso~ \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$

So und nun?

05.05.2008, 19:03

kiste

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Ok, das ist also die Aufgabenstellung. Warum nicht gleich korrekt?

Zuerst einmal musst du dir klar werden wie die einzelnen Gruppen überhaupt aussehen. Die Verknüpfung ist hier offensichtlich die Addition, ansonsten wäre es keine Gruppe.

Also überlege dir was mit <6>,<30> und <6>/<30> gemeint ist. Das letztere ist übrigens eine Faktorgruppe

05.05.2008, 21:17

Fletcher

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Warum nicht gleich korrekt? Weil ich sie nicht zur Hand hatte, sorry!

Also gut, wir betrachten also die zwei Untergruppen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die von dem Element 6 bzw. 30 erzeugt wurden, dh.
Was mir als erstes aufgefallen ist, dass man 30 auch schreiben kann als 5*6. Und das wiederum ist ja gar nicht so schlecht, da ich ja auch die Isomorphie zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ zeigen soll.

Ich habe einfach Schwierigkeiten das jetzt formal korrekt auszuführen, meine Gedanken wären jetzt, dass ich mir die Elemente von <6> mal ansehe, diese sind ja 0,6,12,18,24,30,36, ...
Die 6 mod 5=1, 12 mod 5= 2, 18 mod 5 =3, 24 mod 5 = 4 und schon habe ich genau die Elemente dastehen, die auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_5 \end{eqnarray*}$ vorkommen. Und wenn man sich das ganze mit 30 anschauen möchte, dann kann man das ja auch tun und als Reste kommen genau Vielfache von den Zahlen 1,2,3,4 heraus. Nämlich einfach mal Sechs. Siehe 6=6*1, 12=6*2, 18=6*3, 24=6*4
Das sind wieder die Elemente von $\begin{eqnarray*} Z_5 \end{eqnarray*}$

Sorry für die ungenaue Art aber wie mache ich das genau?

05.05.2008, 21:33

kiste

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Dann versuche doch bitte einmal formal zu werden.

Was für Nebenklassen gibt es den in <5>/<30>? Wie werden diese charakterisiert? Kannst du einen Isomorphismus zu Z_5 angeben?

05.05.2008, 21:43

Fletcher

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Ja, dass muss ich mir in Ruhe überlegen, werde das später mal posten. Aber kannst du mir sagen, ob das so korrekt ist vom INHALT her?

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