Geraden paarweise schneiden

11.12.2005, 17:40	Silkekind	Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden paarweise schneiden Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen. "In wievielen Punkten höchstens können n Geraden einander paarweise schneiden? Beweise eine entsprechende Formel durch vollständige Induktion." Was ist mit paarweise eigentlich gemeint? Geraden können sich doch nur in einem Punkt schneiden, oder sie sind identisch oder parallel und schneiden sich gar nciht. Wie komme ich eigentlich auf die Formel, die ich beweisen soll? Lieben Gruß Silke
11.12.2005, 19:09	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden paarweise schneiden paarweise bedeutet: je 2 gerade schneiden sich. wenn du die anzahl der geraden mit n bezeichnest, beträgt die maximale anzahl der schnittpunkte n = 2: 1 schnittpunkt n= 3: g1 mit g2, g1 mit g3, g2 mit g3: 3 schnittpunkte n = 4: .... und jetzt sollst du eine (naheliegende) vermutung aufstellen und diese dann mit vI beweisen. werner
11.12.2005, 20:11	Silkekind	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ist das mit paarweise zu verstehen. Also mir ist jetzt aufgefallen, dass n1=2 : 1 n2=3 : 3 n3= 4 : 6 n4= 5 : 10 n5= 6 : 15 das heißt die Anzahl der Schnittpunkte läßt sich anhand des Vorgängers berechnen. Das heißt die Summe aus (n-1) und der Anzahl der Schnittpunkte von (n-1) ergibt die Anzahl der Schnittpunkte von n. Wie kann ich das nun in eine Formel bringen. Silke
11.12.2005, 20:24	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
deine vermutung ist - denke ich - ok. jetzt bilde daraus eine formel für n gerade, also s(n) = 1 + 2 + 3 +.... + (n - 1) und beweise sie für (n + 1). werner
11.12.2005, 20:34	Silkekind	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich beim Induktionsanfang n=2 nehmen steht doch da s(2)= 1 + (2-1) und das ist doch 2 und somit stimmt die Formel nicht.
11.12.2005, 20:50	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
für n = 2: s(2) = (n - 1) = (2-1) = 1 also stimmt sie doch. und jetzt versuche diese summe in eine formel zu fassen werner
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11.12.2005, 21:53	Silkekind	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Formel sieht jetzt in Summenformelschreibweise folgender maßen aus: s(n)= $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~(k-1) \end{eqnarray}$ somit versuche ich jetzt zu zeigen das sie auch für n+1 glit. Bin jetzt soweit gekommen das ich dastehen habe: s(n+1)= $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~(k-1) \end{eqnarray}$ + n Hab mir aber inswischen auch überlegt das ich ja noch gar nicht richtig gezeigt habe, das n=2 richtig ist, denn ich hab mir das ja nur überlegt das es 1 sein muß und es nicht wirklich gezeigt habe. )Oder?
11.12.2005, 22:15	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, hast du schon gezeigt: die frage lautet ja, wie viele schnittpunkte gibt es HÖCHSTENS! und 2 gerade (in der ebene) sind entweder parallel oder haben 1 schnittpunkt, haben also maximal 1 sp. und diese summe ist bekannt s(n) = 1/2n(n - 1) (könnte man wieder mit vI zeigen, geht aber viel einfacher) und jetzt zeigst du, dass s(n +1) richtig ist, indem du s(n + 1) = s(n) + n zusammenfaßt. werner

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