Problem bei Konvergenz zweier Reihen

11.12.2005, 18:19	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei Konvergenz zweier Reihen Also, stoß mir gerade bei folgenden Problemen den Kopf: 1.) Folgt aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n > 0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow\infty}b_n&=&0 \end{eqnarray}$ die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n} \end{eqnarray}$ ? 2.) Folgt aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{eqnarray}$ die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \end{eqnarray}$ ? 3.) Was lässt sich über die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{a_n} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \end{eqnarray}$ aussagen, wenn man zusätzlich $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \end{eqnarray}$ voraussetzt ? Also zu 1.) ist mir folgendes eingefallen: $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ist ja eine monoton fallende Nullfolge, also hab ich mir gedacht das auch $\begin{eqnarray} a_{n}b_{n} \end{eqnarray}$ monoton fallend seien sollte. Reicht das aus um die Konvergenz nachzuprüfen oder muss ich baumeister spielen und $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ -Umgebungen bauen gehen? Bei 2) und 3) hab ich bis jetzt keinen Dau. Würd mich über hilfe sehr freuen. mfg Elias
11.12.2005, 20:39	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem bei Konvergenz zweier Reihen zu 1.): Die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe (Reihengleider müssen eine Nullfolge bilden) ist dann zwar erfüllt, aber die Gültigkeit der hinreichenden Bedingung muss noch gezeigt werden (müsste aber auch erfüllt sein). Da du nichts über $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ weißt (außer, dass es eine Nullfolge ist), muss $\begin{eqnarray} a_nb_n \end{eqnarray}$ nicht monoton sein. zu 2.): Ja, denn die erste Reihe ist eine konvergente Majorante zur zweiten. zu 3.): Da fällt mir auf die Schnelle nur Folgendes ein: Wenn die erste Reihe konvergiert, so konvergiert auch die zweite.
11.12.2005, 20:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Dass $\begin{eqnarray} a_nb_n \end{eqnarray}$ dann auch monoton sein muss, ist keinesfalls richtig. Das geht schon deshalb nicht, weil $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ positive und negative Werte annehmen kann. Falls du die Abelsche partielle Summation kennst, dürfte es damit ganz gut gehen. 2) Nimm dir eine divergente Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~b_n \end{eqnarray}$ positiver Glieder $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ , die monoton fallend gegen 0 gehen. Bilde dann $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n\sqrt{b_n} \end{eqnarray}$ . Setze nun $\begin{eqnarray} a_n:=(-1)^n\sqrt{b_n} \end{eqnarray}$ und du wirst sehen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n\equiv\sum_{n=0}^{\infty}~(-1)^n\sqrt{b_n} \end{eqnarray}$ konvergiert, $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n^2\equiv\sum_{n=0}^{\infty}~b_n \end{eqnarray}$ jedoch divergiert. Man kann hierbei übrigens gut mit der harmonischen Reihe arbeiten. edit: @sts112358 Deine Argumentation funktioniert nur, wenn $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray}$ absolut konvergiert, wie es dann in 3) erst ist. (edit-Ende) 3) Benutze für den Beweis der Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n^2 \end{eqnarray}$ das Majorantenkriterium. Bei $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\sqrt{a_n} \end{eqnarray}$ kannst du wieder ein wenig mit der harmonischen Reihe arbeiten, um zu zeigen, dass nicht immer Konvergenz vorliegen muss. edit: Ich habe es so verstanden, dass bei 3) immer noch voraussetzt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray}$ konvergiert. Gruß MSS
11.12.2005, 20:59	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathespezialschüler: Danke, hast natürlich vollkomen recht!

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