Quotienten- oder Wurzelkriterium??

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11.12.2005, 18:26	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Quotienten- oder Wurzelkriterium?? Hi, ich muss die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k>1}^n~\frac{1}{2}^{n+(-1)^n} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz untersuchen und hab da mal gleich ein paar Fragen zu. Hab das zuerst mal in gerade und ungerade n aufgeteilt $\begin{eqnarray} a_n = (\frac{1}{2})^{n+1} \end{eqnarray}$ für gerade n, $\begin{eqnarray} a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} \end{eqnarray}$ für ungerade n. Jetzt hab ich zuerst das Quotientenkriterium angewendet und bekomme $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\|= \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ für ungerade und $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\|= 2 \end{eqnarray}$ für gerade n. Dann würde es ja heißen, dass die Reihe divergiert, da $\begin{eqnarray} limsup\|\frac{a_{n+1}}{a_n}\|>1 \end{eqnarray}$ ist. Wenn ich jetzt aber das Wurzelkriterium anwende, dann hab ich $\begin{eqnarray} limsup \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für gerade und ungerade n. Und jetzt frag ich mich, ob die Reihe nun konvergiert (nach Wurzelkriterium) oder nicht (nach Quotientenkriteium)
11.12.2005, 20:22	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quotienten- oder Wurzelkriterium?? Erstmal eine Frage vorweg: Ich nehme mal an, du fragst nach der Konvergenz bzgl. n. Aber der Laufindex (k) deiner Summe taucht in den Summanden gar nicht auf. Vielleicht ein Schreibfehler?
11.12.2005, 20:37	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ein Schreibfehler, es soll heißen $\begin{eqnarray} \sum_{n>1}^k~\frac{1}{2}^{n+(-1)^n} \end{eqnarray}$ , wobei da wo jetzt k steht nichts stehen sollte. Ich weiss nur nicht, wie man das hier aufschreibt
11.12.2005, 20:47	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an du meinst $\begin{eqnarray} \sum_{n>1}2^{-(n+(-1)^n)} \end{eqnarray}$ ?
11.12.2005, 20:55	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib dir die ersten Gleider der Reihe mal auf und du wirst bemerken, dass es sich um eine umgeordnete geometrische Reihe handelt. Wenn du nun noch beweist, dass deine Reihe umgeordnet werden darf, bist du also so gut wie fertig.
11.12.2005, 20:56	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genau das meine ich....Und kann du mir helfen? Ich bin nämlich immer noch am raten, welchen Kriterium ich denn nun trauen soll
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11.12.2005, 21:00	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
schau in meinen letzten beitrag, und sieh dir die Reihe mal genau an Wenn du unbedingt mit diesen Kriterien arbeiten willst, dann empfehle ich (für diese Reihe) das Quotientenkrit., aber du musst dabei alle Reihengleider einbeziehen.
11.12.2005, 21:11	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Warte, $\begin{eqnarray} \sum_{n>1}2^{-(n+(-1)^n)} = \sum_{n>1}\frac{1}{2}^{(n+(-1)^n} \end{eqnarray}$ ? Und so wie ich es gemacht habe gehts das nicht? Wir hatten mal ein ähnliches Beispiel und da hatten wie ebenfalls beide Kriterien angewadt. Nach dem einen konvergierte die Reihe, nach dem anderen nicht. Und das gleiche hab ich jetzt auch. Nach dem Quotientekriterium divergiert sie, nach dem Wurzelkriterium jedoch liegt Konvergenz vor. Und da sitze ich und weiss nicht was davon ich nehmen soll. Aber meine Rechnung sollte doch eigentlih richtig sein, oder?
11.12.2005, 21:13	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine natürlich $\begin{eqnarray} \sum_{1 \leq n}(\frac{1}{2})^{n+(-1)^n} \end{eqnarray}$
11.12.2005, 21:19	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, falls eigentlich um $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ noch eine Klammer ist, dann sind die beiden Reihen identisch. Also, ich finde den Weg mit der geometrischen Reihe einfacher. Mit den Quotienten- bzw. Wuzelkriterium stutze ich ein Wenig, denn meines Wissens nach darfst du für die Betrachtung nicht einfach die Reihe in gerade und ungerade Glieder zerlegen.
11.12.2005, 21:38	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätt ich auch gedacht, aber das hatte wir letztes mal im tutorium gemacht...
11.12.2005, 21:46	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du eigentlich auf die Werte bei dem Quotientenkriterium? Ich denke der Quotient ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ , sowohl für gerade als auch für ungerade Reihenglieder. Bsp für n=2: $\begin{eqnarray} \frac{a_4}{a_2}=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ .
11.12.2005, 22:17	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, nache dem Quotientenkriterium ist ja für ungerade: $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| = \frac{(\frac{1}{2})^{n+2}}{(\frac{1}{2})^{n-1}} = \frac{(\frac{1}{2})^n\frac{1}{2}\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^n2} = \frac{\frac{1}{4}}{2} = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ und für gerade n $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| = \frac{(\frac{1}{2})^{n}}{(\frac{1}{2})^{n+1}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \end{eqnarray*}$
11.12.2005, 22:26	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, aber das stimmt nicht ... ich meine die rechnung an sich ist richtig, aber da vermischt du schon wieder gerade und ungerade glieder. warum wehrst du dich so gegen die geometrische Reihe?
11.12.2005, 22:31	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
warte ... ich glaube ich verstehe worauf du hinaus willst. du hast natürlich recht, dass bei deiner betrachtung für den Quotienten nur 1/8 oder 2 rauskommt, jenachdem, was n ist. Das bedeutet doch aber, dass diese Folge der Quotienten keinen Grenzwert besitzt. Somit ist das Verfahren nicht anwendbar. Das wollte ich ja auch die ganze Zeit veruchen zu erklären.
11.12.2005, 22:42	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte ja eigentlich auch gedacht, dass es anders geht. Aber wenn du ein wenig Zeit hast, schau dir doch mal diese Aufgabe an, die sehr ähnlich ist. Und das hat man im Tutorium gemacht und es ist auf jeden Fall richtig: $\begin{eqnarray} \sum_{n>1}^n~ \frac{3^{(-1)^n}}{3^n} \end{eqnarray}$ Aufteilen in gerade und ungerade n: $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{3^{n+1}} \end{eqnarray}$ für ungerade $\begin{eqnarray} a_n = \frac{3}{3^n} \end{eqnarray}$ für gerade Jetzt Quotientenkriterium anwenden: $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| = \frac{\frac{3}{3^{n+1}}}{\frac{1}{3^{n+1}}} = 3 \end{eqnarray}$ für ungerade $\begin{eqnarray} \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| = \frac{\frac{1}{3^{n+2}}}{\frac{3}{3^{n}}} = \frac{1}{27} \end{eqnarray}$ für ungerade Und jetzt könnte man denken, dass die Reihe divergiert. Aber sie konvergiert trotzdem und zwar nach dem Wurzelkriterium. Und das mit geometrische Reihe ist leichter, ja...aber leider müssen wirs wohl so machen..
11.12.2005, 22:45	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so....jetzt versteh ichs glaub ich. Mann hat also zwei verschiedene Häufungspunkte für diese Folge, und damit ja keinen Grenzwert. Also ist das Quotientenkriterium nicht anwendbar? Wenn man jetzt aber das Wurzelkriterium anwendet, dann bekommt man eine Zahl, und zwar 0.5 und damit ist es der Grenzwert, kleiner 1 und daher konvergent?
11.12.2005, 22:50	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt. nun ist es aber so, dass du von vornherein die geraden und ungeraden Glieder nicht richtig getrennt hast. richtig wäre die trennung folgendermaßen: gerade Glieder der ursprünglichen Reihe: $\begin{eqnarray} a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1} \end{eqnarray}$ ungerade Glieder der ursprünglichen Rehe: $\begin{eqnarray} a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{2n} \end{eqnarray}$ Ich hoffe ich konnte dir irgendwie helfen. Muss jetzt aber weg. Bis zum nächsten mal!
11.12.2005, 22:54	Großes Fragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar...vielen lieben Dank!!! Man siehst sich .....

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