Konvergenz einer irren Reihe

11.12.2005, 19:31	Slater	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer irren Reihe Hi, komme bei dieser Reihe weder darüber weiter, mir eine Formel für ihre Glieder zu bauen, noch durch irgendwelche Abschätzungen... Vll fällt einem von euch ja was ein: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}} - \frac{1}{\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}} + \frac{1}{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{4}}} + \frac{1}{\sqrt{4}-\frac{1}{\sqrt{4}}} - \frac{1}{\sqrt{4}+\frac{1}{\sqrt{5}}} \pm ... \end{eqnarray}$
11.12.2005, 21:58	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, eine Formel für die Glieder zu finden, ist nicht so schwierig. Sei $\begin{eqnarray} s_n \end{eqnarray}$ die Summe von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Gliedern. Dann gilt: $\begin{eqnarray} s_{2n}=\sum_{k=2}^{n+1}~\left(\frac{1}{\sqrt{k}-\frac{1}{\sqrt{k}}}-\frac{1}{\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}}\right) \end{eqnarray}$ . Vielleicht hilft das ja. Gruß MSS
12.12.2005, 20:55	Slater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt die Majorante $\begin{eqnarray} \frac{2}{n^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray}$ rausgefunden. Finde aber dazu keine Majorante, deren Konvergenz ich beweisen kann...
12.12.2005, 20:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das ist $\begin{eqnarray} <\frac{2}{n^{\frac{3}{2}}} \end{eqnarray}$ und das ist konvergent. Das ist aber nicht das Problem. Das Problem ist, dass wir die Reihe anders geklammert haben, was wir nicht dürfen, um die Konvergenz nachzuweisen. Gruß MSS
12.12.2005, 21:20	Slater	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry aber das ist nicht kleiner sondern größer. der Nenner wird größer also ist der Bruch kleiner, oder bin ich grad blind?
12.12.2005, 21:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, stimmt. Aber das ist ja kein Problem, weil der zweite Term im Nenner dort gegen 0 geht. Ich überlege grad. Wenn wir die Konvergenz von $\begin{eqnarray} s_{2n} \end{eqnarray}$ haben, können wir die von $\begin{eqnarray} s_{2n+1} \end{eqnarray}$ eigentlich auch folgern, es gilt dann nämlich: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}s_{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(s_{2n}+\frac{1}{\sqrt{n+2}-\frac{1}{\sqrt{2n+2}}}\right)=\lim_{n\to\infty}s_{2n}+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+2}-\frac{1}{\sqrt{2n+2}}}=\lim_{n\to\infty}s_{2n}+0 \end{eqnarray}$ . Also reicht das doch. Gruß MSS
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