Integral einer e-Funktion - Abi am Montag

03.05.2008, 16:15

cinexx23

Integral einer e-Funktion - Abi am Montag

Hallo,

ich habe am Montag meine mündliche Abi-Prüfung und bin beim Lernen auf ein Problem gestoßen und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte, dieses Problem zu lösen.

Gegeben ist die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)= x²*e^{3-x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ; \times \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet: Begründen Sie, dass die Fläche rechts von der y-Achse zwischen dem Graphen von f und der x-Achse nicht größer werden kann als
$\begin{eqnarray*} 2 e^3 = 40,17 FE \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits die Stammfunktion
$\begin{eqnarray*} F(x) = - (x^{2} + 2x +2)*e^{3-x} \end{eqnarray*}$
gebildet.

Mein Ansatz wäre:
$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a}~(x^{2}*e^{3-x})~dx = [- (x^{2} + 2x +2)*e^{3-x}]_{0}^a \end{eqnarray*}$

Nur leider komme ich da nicht weiter. Wir bekomme ich nun die 40,17 FE raus ?

Danke für eure Hilfe.

03.05.2008, 16:18

tmo

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Setze die Grenzen ein und lasse a gegen unendlich laufen.

Du könntest $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ gebrauchen.

03.05.2008, 16:21

cinexx23

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Danke für Deine schnelle Antwort.
Leider da besteht ja mein Problem.
Was meinst Du mit grenzen einsetzen und a gegen unendlich laufen zu lassen.
Ich kann mir gerade nicht vorstellen, wie ich das machen muss.

03.05.2008, 16:23

tmo

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RE: Integral einer e-Funktion - Abi am Montag
Einfach einsetzen kann doch nicht so schwer sein verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~(x^{2}*e^{3-x})~dx = [- (x^{2} + 2x +2)*e^{3-x}]_{0}^a = - (a^{2} + 2a +2)*e^{3-a} + 2e^3 \end{eqnarray*}$

Nun nutze den Grenzwert, den ich oben schon geposted habe

03.05.2008, 16:30

cinexx23

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Achso, Du meinst ich setze für a große Zahlen ein und bekomme dann 40,17 FE heraus. Okay, das funktioniert. Vielen Dank.

Aber habe ich es damit dann in der mündlichen Prüfung bewiesen? Warum ist denn das Integral endlich wenn der Graf sich asymptotisch der x-Achse nähert? Dann müsste doch eigentlich der Flächeninhalt auch wachsen, oder?

03.05.2008, 16:34

tmo

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a}~(x^{2}*e^{3-x})~dx = \overbrace{- (a^{2} + 2a +2)*e^{3-a}}^{\to 0 \text{ fuer } a \to \infty } + 2e^3 \end{eqnarray*}$

Das müsstest du halt noch beweisen. Und dazu brauchst du nicht mehr als eben $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ . Natürlich musst du das noch etwas geschickt anwenden. (z.B. mal ein a aus dem x machen...)

Dass der Integrand auch gegen 0 geht ist zwar notwendig, aber nicht hinreichend, wie du selbst schon gemerkt hast.

03.05.2008, 16:41

Bjoern1982

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Zitat:

Du könntest $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^2 \cdot e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$ gebrauchen.

Du wenn das für dich nicht einfach so ersichtlich ist beweise dass das hier:

$\begin{eqnarray*} - (a^{2} + 2a +2)*e^{3-a} \end{eqnarray*}$

für a gegen unendlich gegen null strebt, und zwar z.B. mit der Regel von L'Hospital.

03.05.2008, 16:46

cinexx23

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Alles klar, ich erarbeite mir das gleich mal eben. Vom Prinzip leuchtet es mir alles ein, ist nur so ne Sache das auch in der Prüfung verständlich zu formulieren.

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