Reihenkonvergenz

11.12.2005, 21:17	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenkonvergenz Wie zeige ich, dass die Reihe $\begin{eqnarray} f(x):=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} x^{2n+1} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mid x\mid<1 \end{eqnarray}$ konvergiert? Wieviele Reihenglieder muss man für x=1/2, x=1/4 und x=1/10 jeweils berücksichtigen, damit f(x) mit einer Genauigkeit von $\begin{eqnarray} 10^{-6} \end{eqnarray}$ zu berechnen ist?
11.12.2005, 21:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Probier's doch mal mit dem Majorantenkriterium oder allgemeiner mit der Formel von Cauchy-Hadamard. Bei der zweiten Frage dürfte eine Abschätzung nach oben helfen (durch die geometrische Reihe, welche eben auch als Majorante dient). Gruß MSS
11.12.2005, 21:24	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Werde ich gleich mal probieren. und worum geht es bei der zweiten Frage?
11.12.2005, 21:26	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenkonvergenz Schau mal in den Beitrag: "Problem bei Konvergenz zweier Reihen ". Der erste Fall könnte dich für die Konvergenz interessieren.
11.12.2005, 21:28	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der zweiten Frage musst du berechnen, ab welchem $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ der Fehler zum genauen Wert der Reihe kleiner als $\begin{eqnarray} 10^{-6} \end{eqnarray}$ wird. Der Fehler ist dabei $\begin{eqnarray} \left\|\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}-\sum_{n=0}^{n_0}~\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right\|=\left\|\sum_{n=n_0+1}^{\infty}~\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}\right\| \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
11.12.2005, 22:24	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
..........aaaaaarg hier kommt bei mir nur Grütze raus bezüglich Majorantenkriterium! HILFE!!
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11.12.2005, 22:36	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwierig ist es doch nicht. Beachte $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n+1}\leq 1\quad\forall\ n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
11.12.2005, 22:54	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich schon! (wollte schon fast nochmal nachschlagen, was eigentlich das kopfstehende A bedeutet) Sorry, aber was sagt mir jetzt dein Ausdruck? (ja, Du hast Recht! Bin nicht der Schlauste.)
11.12.2005, 22:57	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sagt dir: $\begin{eqnarray} \left\|\sum_{n=0}^{\infty}~\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right\|\leq \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{\|x\|^{2n+1}}{2n+1}\leq \sum_{n=0}^{\infty}~\|x\|^{2n+1} \end{eqnarray}$ und das ist eine konvergente Reihe (geometrische Reihe!!). Gruß MSS

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