Wurzel aus Summe

11.12.2005, 22:56

SteffenSt.

Wurzel aus Summe

Hallo,

habe folgendes Problem:

Aufgabe heißt: Vereinfache: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{4}+2x^{3}+x^{2}} \end{eqnarray*}$

ich weiß nur leider absolut nicht wie. Ich habe das Forum auch schon durchsucht, wurde jedoch nicht fündig.

Schon mal Danke im Vorraus

Steffen

11.12.2005, 22:58

Mathespezialschüler

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Klammere $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ aus und benutze eine binomische Formel.

Gruß MSS

11.12.2005, 23:08

manuel.pilz

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RE: Wurzel aus Summe
es gilt aber auch folgendes: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
danach kannst du mit hilfe der potenzregeln vereinfachern.
is nur die frage, ob das "einfacher" ist Augenzwinkern

11.12.2005, 23:09

20_Cent

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RE: Wurzel aus Summe

Zitat:

Original von manuel.pilz
es gild folgendes: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$
danach kannst du mit hilfe der potenzregeln vereinfachern.

das erste stimmt, das zweite ist unsinn, du kannst den exponenten natürlcih nicht auf die summe verteilen!
mfG 20

11.12.2005, 23:16

manuel.pilz

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Warum?
wenn er, nachdem er x^2 azgeklammert hat, die wurzel noch reinzieht geht das doch? oder?

11.12.2005, 23:33

Thufir Hawat

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$\begin{eqnarray*} (x^2+ x)^2 = x^4 + 2\cdot x^2\cdot x + x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 \end{eqnarray*}$
desalb:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4+2x^3+x^2}=\sqrt{(x^2+x)^2}=x^2+x \end{eqnarray*}$
bzw:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4+2x^3+x^2}=\sqrt{x^2\cdot(x^2+2x+1)}=x\cdot\sqrt{x^2+2x+1}=x\cdot\sqrt{(x+1)^2}=x\cdot(x+1) \end{eqnarray*}$

11.12.2005, 23:39

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Was z.B. aber für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ falsch ist!

12.12.2005, 00:05

Thufir Hawat

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bei jedem wurzel-ziehen haben wir natürlich ein positives und ein negatives ergebnis...

natürlich sind außerdem die vorzeichen desradikanten zu beachten...

für jede gezogene wurzel aus einem negativem radikanten ist dann ein $\begin{eqnarray*} i\cdot\sqrt{-(radikant)} \end{eqnarray*}$ zu beachten, wenn man es denn ganz genau nehmen will, wobei i die imaginäre einheit ist... Lehrer

12.12.2005, 00:07

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Netter Vortrag, aber völlig fehl am Platze, da der Radikand hier stets nichtnegativ ist!

12.12.2005, 00:10

Thufir Hawat

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natürlich

aber wie gesagt hat die wurzel immer 2 vorzeichen!

$\begin{eqnarray*} (x^2+ x)^2 = x^4 + 2\cdot x^2\cdot x + x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 \end{eqnarray*}$
desalb:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4+2x^3+x^2}=\sqrt{(x^2+x)^2}=\pm(x^2+x) \end{eqnarray*}$
bzw:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4+2x^3+x^2}=\sqrt{x^2\cdot(x^2+2x+1)}=\pm x\cdot\sqrt{x^2+2x+1}=\pm x\cdot\sqrt{(x+1)^2}=\pm x\cdot\pm(x+1) \end{eqnarray*}$

12.12.2005, 00:13

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Ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ reell ist und hier die reelle Wurzel gemeint ist. Und die ist eindeutig. Ok, ich plotte mal beide Funktionen im "interessanten" Bereich:

Du hast also einfach nur die Betragszeichen vergessen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^4+2x^3+x^2} = |x(x+1)| \end{eqnarray*}$

12.12.2005, 00:35

Thufir Hawat

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p.s.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ aber auch: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{16}}=-\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , denn:
$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

12.12.2005, 01:25

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Wir sprechen nicht von den reellen Lösungen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} r^2=x \end{eqnarray*}$ , sondern von $\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ . Das ist ein feiner Unterschied!!!

Zitat:

aus http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel :

Definition: Die Quadratwurzel $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ einer nicht-negativen reellen Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist diejenige nicht-negative reelle Zahl $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , deren Quadrat $\begin{eqnarray*} r^2 = r \cdot r \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist.

So ist es üblich, und da solltest du dich auch dran halten. Augenzwinkern

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