Schätzung einer Standardabweichung

03.05.2008, 19:17	zora	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzung einer Standardabweichung Hallo liebe Experten. Ich habe da mal eine Frage, in meinem Skript zur Statistik steht Im Falle $\begin{eqnarray} \sigma > 0 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} E(S) < \sigma \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} S = \sqrt{S^2} \end{eqnarray}$ keine erwartungstreue Schätzfunktion für die Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Die Schätzfunktion S ist allerdings asymptotisch erwartungstreu für $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Schätzwert für $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ aus einer einfachen Stichprobe $\begin{eqnarray} (x_1,...,x_n) : \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma' = s = \sqrt{\frac{1}{n-1}[\sum^n_{i=1} x_i^2 - n \overline{x}^2]} \end{eqnarray}$ Die Wurzelfunktion $\begin{eqnarray} g(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ist streng konkav, daher folgt die Eigenschaft $\begin{eqnarray} E(S) < \sigma \end{eqnarray}$ aus der Jensenschen Ungleichung Die Jensensche Ungleichung besagt ja jetzt: $\begin{eqnarray} Eg(X) \le g(EX) \end{eqnarray}$ In meinem Text ist also Eg(X) gegeben. Aber was wäre dann g(EX)? Also wie gehts in dem Skript eigentlich weiter, das würde ich mir gerne erarbeiten oder besser gesagt, zumindest verstehen $\begin{eqnarray} \sigma' = s = \sqrt{\frac{1}{n-1}[\sum^n_{i=1} x_i^2 - n \overline{x}^2]} \le \frac{1}{n-1}[\sum^n_{i=1} x_i^2 - n \overline{x}^2] \end{eqnarray}$ ?? Ich kann mir gut vorstellen, dass das nicht richtig ist. Könnt ihr mir mal die nächste Zeile oder sogar den Rest vorgeben? Wäre super nett LG zora
03.05.2008, 19:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir betrachten den Schätzer $\begin{eqnarray} S^2 := \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2 = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=1}^n X_i^2 - n\cdot \bar{X}^2 \right] \end{eqnarray}$ (Ich verwende besser Großbuchstaben, um klarzustellen, dass es sich hier um eine Zufallsgröße handelt.) Von dem kann man ausrechnen, dass er erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist, also $\begin{eqnarray} E(S^2) = \sigma^2\qquad (1) \end{eqnarray}$ , haben wir hier im Board auch schon einige Male besprochen, z.B. hier. Jetzt zur Jensenschen Ungleichung: Die besagt, dass für eine konkave Funktion $\begin{eqnarray} E(g(X)) \leq g(E(X)) \end{eqnarray}$ gilt. Als konkave Funktion wählt man nun hier $\begin{eqnarray} g(t)=\sqrt{t} \end{eqnarray}$ und als Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X=S^2 \end{eqnarray}$ , und erhält $\begin{eqnarray} E(\sqrt{S^2}) \leq \sqrt{E(S^2)}\qquad (2) \end{eqnarray}$ . Nun einfach (1) in (2) eingesetzt und links vereinfacht ergibt sich deine Behauptung $\begin{eqnarray} E(S)\leq \sigma \end{eqnarray}$ .

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