Diagonalisierung

12.12.2005, 11:07	Yavanna	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierung Hi! Ich soll eine orthogonale Matrix S bestimmen, sodass $\begin{eqnarray} S^{-1} \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \\ -2 & 10 & -2 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix} S \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist. So. 1.Schritt Es gibt eine Diagonalmatrix wenn es eine Basis S aus Eigenvektoren von A gibt ( zzgl. ist jede symmetrische Matrix A diagonalisierbar und bei uns ist sie symmetrisch ) Also char. Polynom bestimmen und Eigenwerte und Eigenvektoren ausrechnen: Da kommen mir als Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda = 6 \end{eqnarray}$ mit der algebrarischen Vielfachheit 2 und $\begin{eqnarray} \mu = 12 \end{eqnarray}$ raus. Daraus folgen bei mir die Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} \vec{x}1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x}3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also wäre an und für sich: S = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jedoch ist dies doch keine kartesische Basis, da $\begin{eqnarray} S^{-1} \neq S^{T} \end{eqnarray}$ weiters sind die Eigenvektoren doch nicht linear unabhängig.
12.12.2005, 11:51	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix ist symmetrisch das heißt die Eigenvektoren sind Orthogonal und die Matrix ist orthogonal Diagonalisierbar. Dein Problem ist das der Eigenraum zu 6 die Dimension 2 hat. Das heißt Du musst in dem Eigenraum erstmal selbst 2 orthogonale und linear Unabhängige Eigenvektoren finden. Wie Dir auffällt sind Deine Eigenvektoren X1 und X2 nicht senkrecht und auch nicht linear unabhängig. Dein Eigenraum hat aber die Dimension 2. Wenn Du das Gram-Schmidtverfahren kennst , wende es auf die Menge an und Du hast Deinen zweiten EV.
12.12.2005, 14:27	Yavanna	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, wenn ich das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren anwende, komme ich dann auf den (-1,0,1) ersetzenden Vektor (1,1,1) Also wäre die orthogonale Basis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Wenns richtig ist hätt ichs ja schon fast geschafft (nehm ich mal an) und habe nur noch Probleme mit der Normierung. Die Diagonalmatrix ist ja sowieso $\begin{eqnarray} S^{-1} M S = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
12.12.2005, 20:37	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Vektor (1,1,1) ist wieder nicht senkrecht auf (2,1,0). Du musst nicht orthonormalisieren es reicht ledglich eine orthogonale Basis zu bekommen. Die Vektoren sind aber schonmal linear unabhängig (und hoffentlich auch eigenvektoren).

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