Integralsatz von Gauß verifizieren

12.12.2005, 15:22	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralsatz von Gauß verifizieren Hallo, Ich soll den Integralsatz von Gauß anhand eines gegebenen Vektorfeldes verifizieren. (Lediglich beide Seiten der Gleichung berechnen.) Vektorfeld: $\begin{eqnarray} v(r)=\begin{pmatrix} 4xz \\ -y^2 \\ yz \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Integralsatz: $\begin{eqnarray} \int_{}\int_{V}\int_{}div(v(r))dV=\int_{O(V)}\int{}v(r)dO \end{eqnarray}$ Der I. von G. sagt aus, dass das Volumenintegral der Divergenz gleich dem Flußintegral durch die Oberfläche ist. Mein Problem ist jetzt: die Divergenz des Feldes müsste 4z-y sein Habe jetzt auf zwei verschiedene Arten das Volumenintegral davon berechnet: 1.Ergebnis=3/2 2.Ergebnis=ein recht langer Term mit diversen x, y und z Was ist davon jetzt richtig (tippe eher auf die Zahl)? Oder beides falsch? fehlt natürlich noch: der zu integrierende Körper ist ein Würfel mit x, y und z=0 bis 1
12.12.2005, 16:17	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, 3/2 bekomme ich raus für das Volumsintegral. Für das Flächenintegral hast Du eben 6 Einzelflächen die du getrennt integrieren musst. Dabei bleibt immer eine Koordinate konstant. Naja, viel Spass... wirst aber sicher schaffen ! PS: sooo schwierig ist es auch wieder nicht, da du immer nur die x, y, oder z Komponente des Vektorfeldes nehmen musst (die Würfelflächen sind schon kanonisch orientiert). Du musst dich deshalb nicht mit Richtungsvektoren herumschlagen. Wieso bleiben denn xyz im Ergebnis ? Du musst ja ein bestimmtes Integral auswerten ...
12.12.2005, 17:16	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann das mal jemand für eine Fläche zeigen? Oder wenigstens ansetzen?
12.12.2005, 18:24	n!	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt: $\begin{eqnarray} \oint_c v(r)dO=\sum_{k=1}^6~\oint_c v(r)dO=\oint_c v(x_0+\triangle x,y,z)\hat e_xdydz+..... \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} e_x \end{eqnarray}$ ein Basiseinheitsvektor ist.Der erste Summand ist die Fläche des Würfels,die nach außen zeigt (mal dir das am besten auf). Die beschriebene Fläche hat an jeder Stelle den x-Wert $\begin{eqnarray} x_0+\triangle x \end{eqnarray*}$ und y,z als Flächennormale. Versuche das auf dein Beispiel zu übertragen
12.12.2005, 18:46	schnudl	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Nimm eine Fläche, 2) nun sieh nach wie die Vektorfeldkomponente aussieht, die in Richtung der Flächennormalen zeigt. Zb für die nach X ausgerichtete seite: 4xz 3) Über diese Komponenete bildest du das Doppelintegral über die verbleibenden richtungen. In diesem Fall über y und z, x kannst du als konstant 1 einsetzen, da der x-Wert ja auf dieser Fläche überall gleich bleibt. Für die gegenüberliegende seite ist x=0, somit liefert diese gleich mal keinen Beitrag. 4) Das machst du für jede der 6 Seiten (du hast dann 6 relle Zahlen) und summierst auf Du musst nur berücksichtigen dass die Flächennormale immer nach aussen zeigt. Zeigt diese in negative richtung so ist der Beitrag auch negativ zu nehmen. Das ist "alles" Der Rest ist Durchhaltevermögen
12.12.2005, 19:24	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das nenn ich doch mal ne konkrete Hilfestellung, DANKE! Also muss ich ja eigentlich nur die 3 Flächen berechnen, welche positive Flächennormalen besitzen, da die anderen 3 Flächenintegrale (mit x, y und z jeweils gleich 0 gesetzt) verschwinden. Dann krieg ich auch meine 3/2 wieder zusammen. Nochmals vielen Dank!!!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »