Ist IR abgeschlossen?

12.12.2005, 18:24

Dual Space

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Ist IR abgeschlossen?

Ich lerne grad für meine Diplomprüfung in konvexer Analysis und bin selber ein wenig schockiert euch mit dieser Frage belästigen zu müssen, da sie sich scheinbar am Rande des Trivialen bewegt.

Dennoch: Ist IR (Raum der reellen Zahlen) abgeschlossen?

Intuitiv würde ich dies ja verneinen, aber den Beweis könnte ich ohne weiteres nicht antreten.

Irgendwie finde ich auch keine vernünftige Definition von Abgeschlossenheit. Ich errinnere mich an sowas wie: "Eine Menge heißt abgeschlossen wenn alle Häufungspunkte einer beliebigen Zahlenfolge (von Elementen dieser Menge) wieder in der Menge liegen." Aber sicher bin ich mir dabei auch nicht.
Keine große Hilfe wären jetzt Antworten wie: "Eine Menge ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.", denn das führt mich zu dem Problem ein Universum für IR (also z.B. C) wählen zu müssen. Und die Frage, ob C\IR offen ist, ist von der selben Natur wie die Ursprüngliche.

Nun könnte man als Gegenbeispiel die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=n \end{eqnarray*}$ nennen, aber diese besitzt ja im eigentlichen Sinne gar keinen Häufungspunkt.

Danke schon mal im Vorraus!

12.12.2005, 18:28

Mathespezialschüler

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Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge aus der Menge gegen einen Grenzwert aus der Menge konvergiert.

Gruß MSS

12.12.2005, 18:30

Dual Space

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Demnach ist IR also abgeschlossen?

12.12.2005, 18:30

Mathespezialschüler

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Genau.

Freude

Gruß MSS

12.12.2005, 18:32

Dual Space

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Wow, also doch trivial.

Danke dir!

12.12.2005, 18:43

Dual Space

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Nur wen's noch interessiert:
IR muss natürlich abgeschlossen sein, da wir ja wissen, dass IR separabel ist (Q liegt dicht in IR).

Mathematik kann doch so einfach sein.

Also danke nochmal! Wink

Wink

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14.12.2005, 20:49

IchDerRobot

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Hallo sts,
deiner letzten Erkenntnis würde ich nicht zustimmen: Auch das Intervall (0, 1) ist separabel, denn Q geschnitten (0, 1) ist ebenfalls abzählbar und dicht in (0, 1). Trotzdem ist das Intervall nicht abgeschlossen in R.

Die Frage, ob R abgeschlossen ist, hängt von dem Raum ab, als dessen Teilmenge du R betrachtest. Den Fall R in C hast du bereits angesprochen, da musst du prüfen, ob C \ R offen ist (was tatsächlich so ist).
Ist R der Oberraum, dann ist R abgeschlossen und offen (denn jeder metrische Raum ist relativ zu sich selbst abgeschlossen und offen).

Nun wähle ich aber als Oberraum die Menge M := R vereinigt {Anton, Berta}, und die folgende Metrik:
Für x, y in R sei d(x,y) = |arctan(x) - arctan(y)|,
für x in R sei d(x, Anton) = d(Anton, x) = |arctan(x) - pi/2|,
für x in R sei d(x, Berta) = d(Berta, x) = |-pi/2 - arctan(x)|,
d(Anton, Anton) = d(Berta, Berta) = 0,
d(Anton, Berta) = d(Berta, Anton) = pi.

Dass dies eine Metrik ist, kannst du dir ausrechnen (dass d eine Metrik auf der Teilmenge R ist, gilt sogar für jede streng monoton wachsende Funktion von R nach R anstelle von arctan).

In diesem Raum M ist R nicht abgeschlossen, aber offen.

Dieser Raum ist übrigens topologisch gesehen die Zweipunktkompaktifizierung von R.

Betrachtet man R als Teilmenge der Einpunktkompaktifizierung von C (Riemannsche Zahlenkugel), dann ist R ebenfalls nicht abgeschlossen, aber auch nicht offen.

Robot

14.12.2005, 22:27

Dual Space

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Danke dir für deinen Denkanstoß. Ich denke jetzt ist mir klar, warum mir die Frage, ob R abgeschlossen ist, solch ein Kopfzerbrechen bereitet hat. Bisher habe ich mich hauptsächlich mit abstrakten Räumen beschäfftigt, aber wie du so anschaulich gezeigt hast, können auch sehr einfache Räume sehr abstrakt sein. Kommt halt auf den Kontext an.

Dein Beitrag war mir eine riesen Hilfe, danke dir.

MfG
sts

23.12.2010, 12:04

sayana

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Hallo,

Lässt sich das Ganze auch auf IR^n übertragen??

LG,
say

23.12.2010, 13:08

gonnabphd

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Was ist "das Ganze"? Wenn du fragst, ob R^n abgeschlossen ist, dann jein.

Ja, wenn du R^n einfach (normal) als topologischen Raum betrachtest.
Nein, wenn du R^n als Teilraum eines grösseren Raumes (z.B. S^n) betrachtest.

Ich will damit auf das folgende Problem aufmerksam machen:

Aussagen wie "Ist M abgeschlossen?" sind - strenggenommen - grundsätzlich bedeutungslos.

Abgeschlossenheit ist ein topologischer Begriff und ein topologischer Raum ist ein 2-Tupel $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T ) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ ein System von Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist, welches einige Axiome erfüllt und einem sagt, welche Teilmengen von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ wir als offen / abgeschlossen bezeichnen wollen.

Die korrekte Frage wäre folglich: "Ist M abgeschlossen in $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T ) \end{eqnarray*}$ ?".

23.12.2010, 13:12

sayana

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Hallo,

was ich meinte war folgendes:

Wenn wir uns den letzten Beitrag von IchDerRobot hier anschauen und jedes R mit R^n ersetzen. Sind dann die Aussagen immer noch alle gültig?

LG,
say

23.12.2010, 14:26

gonnabphd

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In gewisser Weise, ja. Natürlich ist das nicht Wort für Wort möglich, da der Arkustangens nicht definiert ist etc.

Sinngemäss lässt es sich aber übertragen. (wobei "sinngemäss" ein gefährliches Wort ist geschockt

geschockt

)

23.12.2010, 15:49

tohuwabou

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Hi, ich habe den Thread intressehalber gelesen und mir stellen sich 3 Fragen:

Zitat:

Original von IchDerRobot

C \ R offen ist (was tatsächlich so ist).

Woher wisst ihr , dass $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen ist?
Wie hat man sich das vorzustellen. Sind das dann alle Elemente $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ für die gilt : $\begin{eqnarray*} x=a+ib \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=0,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von IchDerRobot
In diesem Raum M ist R nicht abgeschlossen, aber offen.

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , nicht abgeschlossen? Habt ihr jetzt eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konstruiert, die als Grenzwert Anton oder Berta hat? Wenn ja, wie sieht so eine Folge denn aus?

3 Frage:

Muss man immer zu einem Raum eine Metrik haben? Könnte man sonst nichts zur Konvergenz in M aussagen, wenn man keine Metrik angeben würde?

Gruß

23.12.2010, 15:57

gonnabphd

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Zitat:

Woher wisst ihr , dass $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \mathbb R \end{eqnarray*}$ offen ist?
Wie hat man sich das vorzustellen. Sind das dann alle Elemente $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ für die gilt : $\begin{eqnarray*} x=a+ib \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=0,b\neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das sind genau die Elemente, die gemeint sind. Offenheit folgt z.B. daraus, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x+iy) := y \end{eqnarray*}$ stetig ist und $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \mathbb R = f^{-1}((-\infty, 0)) \cup f^{-1}((0,\infty)) \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann es aber auch direkt nachprüfen (d.h. für einen beliebigen Punkt nachweisen, dass er innerer Punkt ist).

Zitat:

Wieso ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , nicht abgeschlossen? Habt ihr jetzt eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konstruiert, die als Grenzwert Anton oder Berta hat? Wenn ja, wie sieht so eine Folge denn aus?

$\begin{eqnarray*} x_n= n \end{eqnarray*}$ oder jede andere bestimmt divergente Folge. (Interessant ist vielleicht, dass dieser Raum kompakt ist).

Zitat:

Muss man immer zu einem Raum eine Metrik haben? Könnte man sonst nichts zur Konvergenz in M aussagen, wenn man keine Metrik angeben würde?

Nein, es gibt Räume, welche nicht metrisch (und auch nicht metrisierbar) sind.

Allgemein nennt man eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in einem topologischen Raum konvergent gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jeder offenen Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein natürliches $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} x_n \in U \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \ge N \end{eqnarray*}$ .

23.12.2010, 16:07

tmo

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Zitat:

Original von gonnabphd
Nein, es gibt Räume, welche nicht metrisch (und auch nicht metrisierbar) sind.

Damit es bei tohuwabou nicht zu Missverständnissen kommt:

Man kann auf jeder Menge eine Metrik definieren, z.b. die diskrete Metrik.

Mit nicht metrisierbar ist gemeint, dass man einen topoligischen Raum $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal T) \end{eqnarray*}$ hat, auf dem man keine Metrik definieren kann, welche wieder genau die Topologie $\begin{eqnarray*} \mathcal T \end{eqnarray*}$ induziert, wenn man bzgl. dieser Metrik wie üblich offene Mengen einführt.

23.12.2010, 16:35

tohuwabou

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Zitat:

Original von gonnabphd

Offenheit folgt z.B. daraus, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x+iy) := y \end{eqnarray*}$ stetig ist und $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \mathbb R = f^{-1}((-\infty, 0)) \cup f^{-1}((0,\infty)) \end{eqnarray*}$ gilt. Man kann es aber auch direkt nachprüfen (d.h. für einen beliebigen Punkt nachweisen, dass er innerer Punkt ist).

Für Offenheit müssen dann $\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty, 0)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,\infty)) \end{eqnarray*}$ offen sein.

Was sie offensichtlich sind, da man eine Nullfolge, z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ finden kann, die einen Grenzwert außerhalb von $\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty, 0)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,\infty)) \end{eqnarray*}$ hat.

Richtig?

Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} x_n= n \end{eqnarray*}$ oder jede andere bestimmt divergente Folge. (Interessant ist vielleicht, dass dieser Raum kompakt ist).

Ahhh, das hab ich jetzt verstanden, wo ich mir den $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ mal angeschaut hab, und gesehen hab, dass $\begin{eqnarray*} \arctan(x)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$
und damit nach der Metrik von oben der Abstand zu Anton gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ läuft.

Zitat:

Original von gonnabphd
Allgemein nennt man eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ in einem topologischen Raum konvergent gegen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , wenn es zu jeder offenen Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein natürliches $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} x_n \in U \end{eqnarray*}$ für alle
$\begin{eqnarray*} n \ge N \end{eqnarray*}$ .

Die Definition ist verständlich, aber muss man denn nicht um überhaupt von Umgebung sprechen zu können eine Abstandsbegriff ( Metrik) definiert haben?

23.12.2010, 17:11

gonnabphd

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Zitat:

Was sie offensichtlich sind, da man eine Nullfolge, z.B. $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ finden kann, die einen Grenzwert außerhalb von $\begin{eqnarray*} f^{-1}((-\infty, 0)) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f^{-1}((0,\infty)) \end{eqnarray*}$ hat.

Richtig?

Da musst du aufpassen. Eine Teilenge muss nicht zwangsläufig entweder abgeschlossen oder offen sein.

z.B. [0,1) in IR (mit der üblichen Topologie) ist weder abgeschlossen, noch offen.

Auf der anderen Seite gibt es auch Räume, in welchen es Mengen gibt, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind (jeder nicht zusammenhängende Raum).

Zitat:

Die Definition ist verständlich, aber muss man denn nicht um überhaupt von Umgebung sprechen zu können eine Abstandsbegriff ( Metrik) definiert haben?

Das ist genau der Punkt der Topologie: Die Topologie auf der Menge beschreibt die offenen Umgebungen.

Wenn du mehr dazu wissen willst, solltest du dir ein Topologiebuch schnappen. Wenn du Mathematik studierst, wirst du dich mit der Topologie früher oder später eh auseinandersetzen müssen.

Für einen ersten, kleinen Überblick verweise ich mal auf Wikipedia.

Wink

Wink

23.12.2010, 17:35

tohuwabou

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Ok, vielen Dank gonnabphd und auch tmo für eure Erklärungen Gott

Gott

Augenzwinkern

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