Potenzreihen

12.12.2005, 18:43

Lamalambra

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Potenzreihen

Hey, ich habe schon wieder ganz tolle Aufgabe und das kurz vor Weihnachten unglücklich

unglücklich

Na ja, was soll's, ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen, da ich doch sehr große Probleme damit habe...

Im folgenden seien $\begin{eqnarray*} a:=\sum~a_{k}z^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b:=\sum~a_{k}z^k \end{eqnarray*}$ Potenzreihen, $\begin{eqnarray*} p_{a}>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{b} \end{eqnarray*}$ ihre Konvergenzradien und $\begin{eqnarray*} !a(z):= \sum_{k=0}^\infty~a_{k}z^k \end{eqnarray*}$ die durch a dargestellte Funktion.

a) Es gelte !a(z)=!b(z) für alle z mit $\begin{eqnarray*} \mid z \mid<p_{a} \end{eqnarray*}$ . In welcher Beziehung stehen Koeffizienten der beiden Potenzreihen a und b?

b) Sei 0<r< $\begin{eqnarray*} p_{a} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie: Die Funktion !a: B(0,r)->C ist beschränkt. Geben Sie ein entsprechendes c an.

c) Sei M ein bzgl. 0 symmetrische Teilmenge von C, d.h. aus $\begin{eqnarray*} z\in M \end{eqnarray*}$ folgt stets $\begin{eqnarray*} -z\in M \end{eqnarray*}$ .

c i) Geben Sie zwei Beispiele symmetrischer echter Teilmengen von C an und weisen Sie deren Symmetrie nach.

c ii) Eine Funktion f: M->C heißt gerade (bzw. ungerade), wenn f(-z)=f(z) (bzw. f(-z)=-f(z)) für alle $\begin{eqnarray*} z\in M \end{eqnarray*}$ gilt. Von der durch die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} a:=\sum~a_{k}z^k \end{eqnarray*}$ dargestellten Funktion !a sei bekannt, dass !a gerade ist. Was kann man über die Koeffizienten a aussagen?

d) Was können Sie zum Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} p_{c} \end{eqnarray*}$ der Potenzreihe $\begin{eqnarray*} c:= \sum_{n\geq0}~(1+n)a_{n}z^n \end{eqnarray*}$ aussagen?

So allgemein zu den Fragen möchte ich erstmal wissen, was überhaupt ein Konvergenzradius bedeutet, denn da fängt es bei mir schon an mit einer riesen großen Lücke... Vielleicht könnte mir das mal jemand erklären vorweg...

Gruß dat Lama

PS: Das ! vor manchen Variablen ist in den Aufgabe als Unterstrich unter den Variablen angegeben...

12.12.2005, 18:59

Mathespezialschüler

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Verschoben

Der Konvergenzradius gibt an, für welche Werte von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ die Potenzreihe konvergiert und für welche sie divergiert. D.h.:
Sei $\begin{eqnarray*} r_1 \end{eqnarray*}$ der Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n(z-a)^n \end{eqnarray*}$ .

Dann ist die Reihe für

$\begin{eqnarray*} |z-a|<r_1 \end{eqnarray*}$ konvergent, für

$\begin{eqnarray*} |z-a|>r_1 \end{eqnarray*}$ divergent und für

$\begin{eqnarray*} |z-a|=r_1 \end{eqnarray*}$ lässt sich keine Aussage machen.

Nun zu den Aufgaben:
a) Ja, was wäre da denn wohl am Naheliegendsten?
b) Schätze deine Potenzreihe nach oben ab.
c) i) Das solltest du selbst hinbekommen.
ii) Denke mal an Polynome, was war denn da mit den Koeffizienten, wenn das Polynom gerade bzw. ungerade war!?
d) Formel zur Berechnung des Konvergenzradius einfach mal anwenden.

Gruß MSS

13.12.2005, 20:14

Lamalambra

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Seh ich das dann hier richtig, dass wenn $\begin{eqnarray*} p_{a}>0 \end{eqnarray*}$ die Potenzreihe dann konvergiert oder kann ich das nicht darauf beziehen, was im vorigen Eintrag geschrieben wurde?

Dann würde ich sagen, dass die Koeffizienten bei a) divergieren, oder nicht?

13.12.2005, 20:48

Mathespezialschüler

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Ob die Koeffizienten divergieren oder nicht, darum geht es nicht. Es geht um eine Gleichung, die zwischen den Koeffizienten gilt.
Was es mit dem $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ auf sich hat, habe ich doch ausführlich dargestellt. Die Potenzreihe muss nicht für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ konvergieren oder für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ divergieren.
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}a_kz^k \end{eqnarray*}$ konvergiert also für $\begin{eqnarray*} |z|<p_a \end{eqnarray*}$ und divergiert für $\begin{eqnarray*} |z|>p_a \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} |z|=p_a \end{eqnarray*}$ lässt sich keine Aussage machen.

Gruß MSS

01.01.2006, 16:32

Großes Fragezeichen

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Hallo,
erstmal Frohes Neues!

Ich habe die gleichen Aufgaben. Und habe auch Schwierigkeiten damit.

Zu a)
Da hab ich erstmal eine Verständnisfrage. In der Aufgabe steht es gelte $\begin{eqnarray*} !a(z)=!b(z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|<p_a \end{eqnarray*}$ . So wie ich das verstehe sind die beiden Funktionen gleich, und zwar im Konvegenzkreis. Wobei beide den gleichen Konvergezkreis haben und gegen den gleichen Wert konvergieren. Versteh ich das richtig?

Damit würde doch gelten $\begin{eqnarray*} a_0 = b_0,a_2 = b_2,..,a_n = b_n \end{eqnarray*}$ da ich irgendwo mal gelesen hab, dass wenn zwei Potenzreihen im gleichen Konvergenzkreis, gegen den gleichen Wert konvergieren, die Koeffizienten gleich sind.

01.01.2006, 17:23

Mathespezialschüler

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Deine Formulierungen sind zwar noch nicht ganz korrekt (z.B. geht es hier nicht um die Konvergenz der Funktionen, sondern um die Konvergenz von Potenzreihen), aber die Folgerung ist richtig. Bei a) muss also

$\begin{eqnarray*} a_n=b_n \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gelten.

Gruß MSS

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01.01.2006, 18:53

Großes Fragezeichen

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Ok, dann wär das schon mal klar.

Zu d)
Du meintest ja bereits, dass man die Formel zur Berechnung des Konvergenzradius anwenden soll.
Wie man einen Konvergenzradius berechnet weiss ich, aber ich kann das nicht auf
$\begin{eqnarray*} c:= \sum_{n\geq0}~(1+n)a_{n}z^n \end{eqnarray*}$ anwenden.

Wenn ich jetzt das Quotientenkriterium anwende, dann komm ich nicht weiter, da
ich dann folgendes bekomme:
$\begin{eqnarray*} |\frac{(n+2)a_{n+1}}{(1+n)a_n}| \end{eqnarray*}$

Und dann ist ja der Konvergenzradius:
$\begin{eqnarray*} p_a = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}|\frac{(n+2)a_{n+1}}{(1+n)a_n}|} \end{eqnarray*}$

Ich komm da einfach nicht weiter...

01.01.2006, 19:02

Mathespezialschüler

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Nun, da du diese Formel nicht immer für den Konvergenzradius nehmen darfst, solltest du lieber die allgemeingültige Formel

$\begin{eqnarray*} p_c=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)|a_n|}} \end{eqnarray*}$

nehmen. Nun gilt aber

$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{(n+1)|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}\cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

01.01.2006, 19:23

Großes Fragezeichen

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Dann ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}\cdot \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ .

Dann ist ja
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n+1}= 1 \end{eqnarray*}$

aber zu $\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ kann man doch nichts konkretes aussagen, weil $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nich gegeben ist.... verwirrt

verwirrt

01.01.2006, 19:31

Mathespezialschüler

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Guck dir mal die Darstellung von $\begin{eqnarray*} p_a \end{eqnarray*}$ an, dann siehst du es!

Gruß MSS

02.01.2006, 18:50

Großes Fragezeichen

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Meinst du die allgemeine Darstellung des Konvergenzradius

$\begin{eqnarray*} p_a = \frac{1}{ \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|}} \end{eqnarray*}$ ?

Im Prinzip bekommt man dann doch die allgemeine Formel für den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_nz^n \end{eqnarray*}$ , weil ja $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{(n+1)}=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Heißt es dann, dass wenn man den Konvergenzradius dieser Potenzreihe berechnen müsste, wobei a_n gegeben ist, man das (1+n) gar nicht zu beachten bräuchte?

02.01.2006, 19:28

Mathespezialschüler

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Ja, genauso meine ich es. Alles richtig! Freude

Freude

Was du also in deine Antwort schreiben sollst, ist: $\begin{eqnarray*} p_c=p_a \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

02.01.2006, 20:05

Großes Fragezeichen

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Juhuu

Big Laugh

Vesrtanden!!

Bin jetzt bei b)
Da hat Lamalambra vergessen noch etwas wichtiges dazuzuschreiben. Wir müssen nämlich die folgende Definition berücksichtigen:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ irgendeine Menge und $\begin{eqnarray*} f: M -> \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt "auf M beschränkt", wenn es eine Zahl $\begin{eqnarray*} 0 \leq c \end{eqnarray*}$ derart gibt, dass $\begin{eqnarray*} |f(z)| \leq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in M \end{eqnarray*}$ gilt.

(weiss nicht, wie mans das Zeichen für Teilmenge schreib)

Ich hab aber trotzdem leider keine Idee wie ich Beschränktheit zeige....

02.01.2006, 20:22

Großes Fragezeichen

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Seh ich das richtig, wenn ich sage, dass ich folgendes zeigen muss:

$\begin{eqnarray*} \underline{a} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B(0,r) \end{eqnarray*}$ beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \forall z \in B(0,z) \exists c>0: |f(z)|\leq c \end{eqnarray*}$

Dann versteh ich nämlich nicht, warum du sagst, dass man die Potenzreihe nach ober abschätzen muss..... verwirrt

verwirrt

02.01.2006, 20:30

Mathespezialschüler

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Nun, sei $\begin{eqnarray*} z\in B(0,r) \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann kannst du die Potenzreihe so abschätzen:

$\begin{eqnarray*} |\underline a(z)|=\left|\sum_{k=0}^{\infty}~a_kz^k\right|\leq \sum_{k=0}^{\infty}~|a_k||z|^k\leq \sum_{k=0}^{\infty}~|a_k|r^k \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du daraus folgern?

Gruß MSS

edit:

Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
Seh ich das richtig, wenn ich sage, dass ich folgendes zeigen muss:

$\begin{eqnarray*} \underline{a} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} B(0,r) \end{eqnarray*}$ beschränkt $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow\ \forall z \in B(0,z) \exists c>0: |f(z)|\leq c \end{eqnarray*}$

Nein, du musst zeigen:

$\begin{eqnarray*} \exists\ c>0\ \forall\ z\in B(0,r)\ :\ |f(z)|\leq c \end{eqnarray*}$ .

02.01.2006, 20:42

Großes Fragezeichen

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Daraus kann man folgern, dass die Potenzreihe konvergiert und damit beschränkt ist?

02.01.2006, 20:48

Mathespezialschüler

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Nein, nicht daraus kannst du die Konvergenz folgern. Die Konvergenz ist schon vorausgesetzt. Aber daraus kannst du die Beschränktheit folgern. Du musst also explizit ein solches $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ angeben. Ich hab übrigens schon eines hingeschrieben.

Gruß MSS

02.01.2006, 21:05

Großes Fragezeichen

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Meinst du
$\begin{eqnarray*} c= \sum_{k=0}^{\infty}~|a_k|r^k \end{eqnarray*}$ ? Denn dadurch ist ja f(z) bzw. $\begin{eqnarray*} \underline {a} \end{eqnarray*}$ beschränkt.

02.01.2006, 21:21

Mathespezialschüler

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Ja, genau. Freude

Freude

Gruß MSS

02.01.2006, 23:02

Großes Fragezeichen

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Sehr gut

smile

) Vielen Dank!

Dann bleibt mir noch c)

Kann man da bei ci) nicht z.b. die Menge der ganzen Zahlen, oder die Menge aller geraden Zahlen angeben? Diese würden ja die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} z \in M => -z \in M \end{eqnarray*}$ erfüllen....also sind sie symmetrisch bzgl. 0....

02.01.2006, 23:07

Mathespezialschüler

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Ja, genau. Du kannst auch $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder viel einfacher $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ nehmen!

Gruß MSS

02.01.2006, 23:31

Großes Fragezeichen

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Problem ist jetzt die Symmetrie zu zeigen. Ich hab nachgeschaut in meinen Mitschriften, aber nichts gefunden was mit helfen würde...

Also eigentlich haben die ganzen Aufgaben was mit Potenzreihen zu tun. Vielleicht helfen die weiter, nur weiss ich nicht wie... verwirrt

verwirrt

03.01.2006, 00:04

Mathespezialschüler

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Du meinst die Symmetrie von den Mengen? Die ist doch vollkommen klar. Um welche Menge geht es z.B.?

Gruß MSS

03.01.2006, 00:14

Großes Fragezeichen

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Naja, ich muss ja ein Beispiel von symmetrischer, echter Teilmenge von C angeben und deren Symmetrie nachweisen.

Wenn ich jetzt als Beispiel Bsp. R nehme, kann ich dann nicht einfach sagen, dass R ein Körper ist. Also existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein additives Inverse also $\begin{eqnarray*} -x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Und damit ist man doch schon fertig. Oder?
Nur versteh ich nicht, was das mit Potenzreihen zutun hat....und dann gibts auch noch jede Menge Puntke für diese Aufgabe...hmm....

03.01.2006, 00:25

Großes Fragezeichen

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Und bei cii)
Da gehts ja um die durch a dargestellte Funktion $\begin{eqnarray*} \underline {a} \end{eqnarray*}$ , die gerade ist.

Also hat $\begin{eqnarray*} \underline {a} \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht irre folgende Form:

$\begin{eqnarray*} \underline {a} := \sum_{n=0}^\infty~a_{2n}z^{2n} \end{eqnarray*}$

Und damit sind die Koeffizienten doch dargestellt durch die Folge $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ ? Oder kann man das hier so nicht sagen?

03.01.2006, 00:39

Mathespezialschüler

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Genau so kannst du es für die Symmetrie machen. Weil $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, usw. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ auch einer ist, kannst du den gleich als zweites Beispiel nehmen und dann gilt dein Beweis gleich für beide Beispiele.
Bei c)(ii) will der Aufgabensteller höchstwahrscheinlich einfach nur hören, dass $\begin{eqnarray*} a_{2n-1}=0 \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Das hast du also richtig erkannt! Freude

Freude

Gruß MSS

03.01.2006, 19:31

Großes Fragezeichen

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Aber warum ist $\begin{eqnarray*} a_{2n-1}=0 \end{eqnarray*}$ ?

03.01.2006, 19:55

Mathespezialschüler

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Das hast du doch selbst geschrieben, es sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \underline a(z)=\sum_{n=0}^{\infty}~a_{2n}x^{2n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn das

$\begin{eqnarray*} =\sum_{k=0}^{\infty}~a_kx^k \end{eqnarray*}$

sein soll, dann muss natürlich $\begin{eqnarray*} a_{2k-1}=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Gruß MSS

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