Unendliche Reihen und Produkte

13.12.2005, 01:41

Pi-Rat

Unendliche Reihen und Produkte

Hi Leute,

Für welche $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ konvergiert folgende Reihe $\begin{eqnarray*} (n\in \mathbb N ,n>>1) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^ \infty ~\frac{1}{k*ln(k)*(ln(ln(k)))*...*(ln...(ln(k)))*(ln......(ln(k)))^t} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} ln(...(ln(k)))=m-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(......(ln(k)))=m \end{eqnarray*}$

Ich bin regelrecht am verzweifeln, wie geh' ich an so eine Aufgabe ran??? Bi´n für jeden Tip dankbar!

Gruß Pi

13.12.2005, 02:17

JochenX

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das ist so aber sehr unübersichtlich! insbesondere ist nicht ersichtlich, was zähler, was nenner ist [brüche in latex: \frac{...}{...}]
und wieviel lns sollens denn zum schluss sein? so ist die pünktchenschreibweise fatal!

was ist denn eigentlich plötzlich m?

mfg jochen

ps: willkommen

13.12.2005, 07:42

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Ich denke, es ist folgendes gemeint:

$\begin{eqnarray*} g_0(x) := x^t,\qquad g_j(x):=x\cdot g_{j-1}(\ln(x))\quad\mbox{für}\;j\geq 1 \end{eqnarray*}$

Untersucht werden soll nun, für welche $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=n}^{\infty} ~ \frac{1}{g_m(k)} \end{eqnarray*}$

konvergiert oder divergiert. Dabei soll $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hinreichend groß sein, so dass $\begin{eqnarray*} g_m(n) \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert und positiv ist.

Riecht ganz stark nach Induktionsbeweis unter Anwendung des Cauchyschen Verdichtungskriterium. Oder Integralabschätzung, je nach Geschmack.

13.12.2005, 13:44

Pi-Rat

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LOED: das ist so aber sehr unübersichtlich! insbesondere ist nicht ersichtlich, was zähler, was nenner ist [brüche in latex: \frac{...}{...}]
und wieviel lns sollens denn zum schluss sein? so ist die pünktchenschreibweise fatal!
was ist denn eigentlich plötzlich m?

@LOED: Hab's bereits geändert, wußte am Anfang nicht, wie ich Brüche schreiben soll, bin ja schließlich neu hier.
Das m-1 bezieht sich auf das vorletzte Produktglied im Nenner, also ln(...(ln(k))) und m bezieht sich auf das letzte Produktglied im Nenner also ln(......(ln(k))). Ich glaub sonst ist doch alles verständlich oder? Frage: wie schreibt man Prod.? Also Produkt von... als Zeichen im Formeleditor?

@Dent: Mit dem Integralvergleichskriterium hab ichs schon versucht,
also $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{Prod(f_r(z),r=0,n)}~dz=f_{t+1}(x) \end{eqnarray*}$ . Ich seh' nach paar Beispielrechnungen, daß das Ding nie konvergiert... jedoch sollte ich das mit dem Verdichtungskriterium machen, da wie Integralvergleichskriterium noch nie durchgenommen haben.

Gruß Pi

13.12.2005, 20:31

Mathespezialschüler

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Ich glaube, es ist etwas anderes gemeint, und zwar:

$\begin{eqnarray*} g_0(x):=x,\qquad g_j(x):=\ln g_{j-1}(x) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq m-1 \end{eqnarray*}$ sowie

$\begin{eqnarray*} g_m(x):=(\ln g_{m-1}(x))^t \end{eqnarray*}$ .

Untersucht werden soll die Konvergenz von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n}^{\infty}~\frac{1}{\prod\limits_{j=0}^m~g_j(k)} \end{eqnarray*}$ ,

wobei natürlich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ so gewählt wird, dass jeder der Terme für alle $\begin{eqnarray*} k\geq n \end{eqnarray*}$ definiert ist.
In der Tat hilft das Cauchysche Verdichtungskriterium hier induktiv weiter.

Gruß MSS

13.12.2005, 20:45

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ich glaube, es ist etwas anderes gemeint

Das bezieht sich jetzt hoffentlich nicht auf meinen Beitrag.

13.12.2005, 20:55

Mathespezialschüler

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Doch, eigentlich schon. Aber jetzt sehe ich, dass es doch das Gleiche ist. Sorry. Augenzwinkern

Gruß MSS

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