Einfärben von Seiten Tetraeder

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04.05.2008, 12:13	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfärben von Seiten Tetraeder Also ich bräuchte Hilfe ^^. Zur Aufgabe, man hat ein regelmäßiges Tetraeder und 6 verschiedene Farben und die Frage ist, auf wie viele verschiedene Weisen man die Kanten mit den Farben färben kann, ohne dass durch drehen der Figur wieder ein auf die selbe Weise gefärbtes Tetraeder entsteht. Die Aufgabe habe ich verstanden, aber ich habe keinen Lösungsansatz, wäre nett, wenn mir jemand nen tipp geben köntne
04.05.2008, 12:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da wäre noch eine Frage zu klären: Müssen die vier Seitenflächen verschieden gefärbt sein - oder sind auch gleichfarbige Seitenflächen zugelassen? Die zweite Variante ist deutlich schwieriger (ich sage nur: Burnside-Lemma)... EDIT: Sorry, miserabel gelesen von mir - die Kanten sollen ja gefärbt werden, nicht die Flächen! Aber dieselbe Frage für die 6 Kanten: Müssen diese unterschiedlich gefärbt werden?
04.05.2008, 12:40	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
^^ np. ja, die kanten sollen unterschiedlich gefärbt sein, also keine Farbe 2 mal.
04.05.2008, 12:55	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann ist es ja einfach, dann wird ja jede der 6 Farben jeweils genau einmal verwendet. Ohne Drehungsinvarianz gäbe da $\begin{eqnarray} 6!=720 \end{eqnarray}$ Färbungen, um welchen Faktor reduziert sich das durch die möglichen Drehungen? Andere Variante: Irgendeine Kante wird ja mit Farbe 1 gefärbt, die hältst du fest... mehr wird noch nicht verraten.
04.05.2008, 13:12	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
dann hatte ich doch schon mal die richtige idee ^^ ok ich verscuhe mal weiter sehe ich das richtig, dass, weil es 6 Kanten gibt, würde sich jede Möglichkeit bei 6! 6mal wiederholen => die Anzahl beträgt 5! = 120 Möglichkeiten?, das wäre i-wie zu einfach
04.05.2008, 13:35	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, 120 ist zuviel.
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04.05.2008, 13:50	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab nochmal nachgerechnet und komme wieder auf 120, auch wenn ich von der 2. von dir Vorgeschlagenen Variante ausgehe: ich gehe von 1 und habe schon die erste möglichkeit: 123456 dann vertausche ich die letzten beiden Ziffern, eine weitere Möglichkeit 65 546 dann vertausche ich die letzten 3 Ziffern untereinander 564 (die letzten 2 Ziffern vertauschen) 654 645 4356 dann werden die Letzten 4 Ziffern untereinander vertauscht, sprich, die 4 an 4365 den anfang genommen, und die letzten 3 Ziffern vertauscht, dann wird die 4635 nächste Zahl, 5, an den anfang genommen und die letzten 3 Ziffern vertauscht 4653 und so weiter dann sind das jeweils 6 Möglichkeiten mit 4, 5, 6 am Anfang = 18 32456 in der selben art mache ich das mit den letzten 5 Ziffern, dass sind dann jeweils 24 Möglichkeiten für jede Zahl 3,4,5,6 die ich an die (in diesem Fall) erste stelle Schreibe also insgesammt 96 18 + 96 + 6 = 120 wenn ich mich nicht irre ? wenn ich mich doch irren sollte
04.05.2008, 13:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Zahlen sagen mir ohne Erklärung leider überhaupt nichts. Die tatsächliche Anzahl ist jedenfalls 60.
04.05.2008, 14:00	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
könntest du mir erklären, wo mein Fehler liegt? oder einen Hinweis geben
04.05.2008, 14:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Variante habe ich mangels richtiger Erklärung nicht nachvollziehen können... ---------------------------------- Nehmen wir meine Variante 2, also die Kante mit Farbe 1 festhalten: Dann gibt es $\begin{eqnarray} 5! = 120 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten zur Färbung der anderen 5 Kanten. Nun kann ich aber meine festgehaltene Kante um $\begin{eqnarray} 180^{\circ} \end{eqnarray}$ drehen! Dadurch erhalte ich aber nicht 120 neue Färbungen, sondern dieselben 120, nur in anderer Reihenfolge. Also reduziert sich das ganze um Faktor 2. Oder Erklärung mit Variante 1: Es gibt $\begin{eqnarray} 6! = 720 \end{eqnarray}$ Färbungen, wenn wir das Tetraeder festhalten. Nun können wir es auf irgendeine der 4 Seiten als Grundseite kippen, und bei jeder dieser Kippungen noch 3 Drehungen der Grundseite unterscheiden. Insgesamt umfasst die Drehungsgruppe (!) also 12 Drehungen, es gibt also $\begin{eqnarray} \frac{720}{12}=60 \end{eqnarray}$ drehungsinvariante Färbungen.
04.05.2008, 14:12	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
srry, erklären ist nicht meine stärke und vielen dank, den Lösungsweg hab ich verstanden, alles klar, danke für die schnelle und freundliche Hilfe und die gute erklärung ^^
04.05.2008, 14:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Dasselbe Problem etwas allgemeiner: Bei insgesamt $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zur Verfügung stehenden Farben gibt es $\begin{eqnarray} \frac{6!}{12}\binom{n}{6} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{12} \end{eqnarray}$ Färbungen, wo alle Kanten unterschiedlich gefärbt sind, und $\begin{eqnarray} \frac{1}{12}(n^6+3n^4+8n^2) = \frac{n^2(n^4+3n^2+8)}{12} \end{eqnarray}$ Färbungen, wo die Kanten ggfs. auch gleich gefärbt sein können. Die zweite Formel folgt unter Anwendung des Burnside-Lemma, da ich es nun mal oben schon erwähnt hatte.
04.05.2008, 16:06	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
dieses Burnside-Lemma schau ich mir mal an, thx edit: wenn ich mich richtig erinnere ist (n über 6) = (n!/((n-6)!6!), ich bekomme: (6! n!)/(12 * (n-6)! * 6!) 6! kürzen und (n-6)! auch kürzen, bleibt n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/12 das is deine rechnung?
04.05.2008, 16:17	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
verdammt, das is ja englisch xD, ich geb das lieber nich in abacho oder so ein, dem kann man nich vertrauen. dann muss ich wohl all meine Englischkünste aufwenden...
04.05.2008, 16:27	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich - wenn du es jetzt nicht brauchst, dann verschiebe das mal lieber mit dem Burnside-Lemma. Das ist schon hartes Brot: Das Lemma an sich schon, und die Anwendung dann ist auch nicht so offensichtlich... Wenn dich das aber immer noch nicht abschreckt, dann ist dies hier leichter verdaulich, wenn auch etwas länglich.
04.05.2008, 16:37	pablo94	Auf diesen Beitrag antworten »
ich ziehe jede deutsche Erklärung der Englischen vor ^^ (kurze zwischenrechnung ich * Englisch = Niete <=> ich = Niete/Englisch ? naja, egal [Standardabweichung korrekt gerechnet ? xD ]) und ich werde es mir ansehen. aber nicht jetzt. jetzt muss ich ersma lateinvokabeln lernen ^^ bis zum nächsten mal

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