Summenkonvergenz

13.12.2005, 13:54

20_Cent

Summenkonvergenz

Hi, mal wieder...

folgende Aufgabe:

Zeigen sie, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{k}+(-1)^k\frac{2}{\sqrt k})} \end{eqnarray*}$

alternierend ist, also darstellbar ist als $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}{(-1)^ka_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k\geq 0\ \forall k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Ist die Reihe konvergent?

Alternierende Darstellung hab ich, indem ich $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ ausgeklammert hab:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(-1)^k((\frac{(-1)^k}{k}+\frac{2}{\sqrt k}))} \end{eqnarray*}$

das $\begin{eqnarray*} a_k \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist, hab ich auch gezeigt, ist einfach.

Mein Problem ist die Konvergenz...

Hab zuerst Leibniz versucht... $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist Nullfolge, leider nicht monoton. Also nichts....

Dann mit einer Majorante, aber das $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ stört da...

Hat jemand einen Tipp, wie ich die Konvergenz zeigen kann?

mfG 20

13.12.2005, 14:30

Sunwater

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ich bin mir nicht sicher, aber ich würde sagen die Reihe divergiert

... - weil der Einfluss des zweiten Summanden kürzt sich fast weg und was bleibt ist die harmonische Reihe...

ist aber rein intuitiv... - keine Garantie

13.12.2005, 14:38

20_Cent

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daran hatte ich noch gar nicht gedacht...
wie kann man das denn am besten zeigen?
mfG 20

13.12.2005, 17:45

4c1d

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Die Folge nach unten abschätzen, z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k}+(-1)^k \frac{2}{\sqrt{k}} > \frac{1}{k} - \frac{3}{\sqrt{k}} = \frac{1-3 \sqrt{k}}{k} > ... \end{eqnarray*}$

13.12.2005, 19:39

Mathespezialschüler

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Es geht auch ohne Abschätzen. Denn

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{2\cdot (-1)^k}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

konvergiert natürlich (warum?). Würde deine Reihe konvergieren, hätte man einen Widerspruch, nämlich welchen?

Gruß MSS

13.12.2005, 19:48

20_Cent

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@4c1d:

$\begin{eqnarray*} ...>\frac{-3\sqrt k}{k}=\frac{-3}{\sqrt k} \end{eqnarray*}$

das konvergiert, oder?

edit: aber gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ... nützt mir das was??

@MSS:

Leibnizkriterium...

ok, konvergente Reihe und divergente Reihe zusammen können nicht konvergent sein.
Wir hatten da auch son Korollar glaub ich Augenzwinkern

Vielen Dank euch beiden!

mfG 20

14.12.2005, 01:37

4c1d

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Zitat:

Original von 20_Cent
$\begin{eqnarray*} ...>\frac{-3\sqrt k}{k}=\frac{-3}{\sqrt k} \end{eqnarray*}$

das konvergiert, oder?

Die Reihe divergiert, das ist ja der Sinn der Sache (Minorante) Augenzwinkern

Aber MSS' Ansatz ist zugegebenermaßen der direktere Weg

14.12.2005, 12:44

20_Cent

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sry, klar, divergiert...
aber eben gegen minus unendlich.
dann nützt mir das doch gar nichts, oder?
zu jeder reihe gibts ne minorante, die gegen minus unendlich divergiert....
mfG 20

14.12.2005, 13:17

4c1d

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Hast recht, war völliger Blödsinn.
Sorry Hammer

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