Homöomorphismus

04.05.2008, 11:06	Cheela	Auf diesen Beitrag antworten »
Homöomorphismus hi, also ich hab die aufgabe: Konstuieren sie ein Homöomorphismus des offenen Würfels W=(-1,1)^n element IR^n auf die einheitskugel B={x \in IR^n : \|\|x\|\|<1} (in der euklidischen Norm) ich hab mir erst einmal die menge von W aufgeschrieben: W={x \in IR^n : \|\|x\|\| < 1} ich weiß das man den punkt 1 vom würfel auf den einheitskreis, der in dem würfel liegt bringen muss. aber ich brauch doch noch eine funktion f, denn diese muss ja stetig und bijektiv sein und die umkehrabbildung muss stetig sein. wie sieht denn hier die funktion f aus? ich würde vielleicht sagen, dass f:IR^n -> W abbildet, aber das kann doch nicht klappen oder? es wär echt toll falls mir da einer helfen könnte lg Cheela
04.05.2008, 14:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Ausführungen sind alle nicht sonderlich exakt. Also was du hast, ist folgendes: Einerseits die Menge $\begin{eqnarray} W=(-1,1)^n=\{x\in\mathbb R^n\ \|\ \\|x\\|_1<1\} \end{eqnarray}$ und andererseits $\begin{eqnarray} B=\{x\in\mathbb R^n\ \|\ \\|x\\|_2<1\} \end{eqnarray}$ . Wie lässt sich denn das wohl aufeinander abbilden? Das sieht man doch recht schnell. Danach zeigst du noch, dass das wirklich ein Homöomorphismus ist.
04.05.2008, 14:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS Ich weiß jetzt nicht, ob du die beiden Normen nur durchnummeriert hast, oder doch die üblichen $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ -Bezeichnungen im Sinn hattest. In letzterem Fall sollte besser $\begin{eqnarray} W=(-1,1)^n=\{x\in\mathbb R^n\ \|\ \\|x\\|_{\infty}<1\} \end{eqnarray}$ geschrieben werden.
04.05.2008, 14:57	Cheela	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, genau das seh ich ja ebend nicht wie das abgebildet wird. ich hab mein IR^n und meine normen, bei W hab ich die unendliche norm und bei B hab ich die euklidische norm, oder? bildet B -> W ab, aber das iat doch totaler unsinn oder? oder man könnte ja auch IR^n -> W abbilden lassen, aber das macht doch alles keinen sinn........ ich brauch echt hilfe lg cheela
04.05.2008, 15:03	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Danke, ich wollte tatsächlich die übliche Bezeichnung nutzen, bin aber irgendwie von Anfang an davon ausgegangen, das sei die Eins-Norm - warum auch immer. @Cheela Also nochmal: $\begin{eqnarray} W=(-1,1)^n=\{x\in\mathbb R^n\ \|\ \\|x\\|_{\infty}<1\}, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=\{x\in\mathbb R^n\ \|\ \\|x\\|_2<1\} \end{eqnarray}$ . Natürlich sollst du eine Abbildung $\begin{eqnarray} f:W\to B \end{eqnarray}$ finden, das ist doch gerade die Definition der Homöomorphie! Und diese Abbildung soll bijektiv und stetig sein, was ebenso für ihre Umkehrabbildung gelten soll.
04.05.2008, 15:21	Cheela	Auf diesen Beitrag antworten »
die definition von Homöomorphie hab ich ja verstanden, was ich da zeigen muss und so, aber mein problem ist, ich weiß nicht wie ich eine abbildung finden soll. mit welcher idee ich rangehen kann um eine vernünftige zu finden. wir hatten in der vorlesung ein bsp mit nur B, da hatten wir dann eine abb f: IR^n -> B; x -> $\begin{eqnarray} \frac{x}{1+\|\|x\|\|} \end{eqnarray}$ und da weiß ich auch nicht wie man auf diese funktion gekommen ist. somit hab ich auch echt kein plan wie ich das bei meiner aufgabe machen soll. lg Cheela
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04.05.2008, 15:35	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal brauchst du ja eine Abbildung, die genau dahin abbildet wo man hin will. Für $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{1+\\|x\\|_2} \end{eqnarray}$ gilt nun mal gerade $\begin{eqnarray} \\|f(x)\\|_2=\frac{\\|x\\|_2}{1+\\|x\\|_2}<1 \end{eqnarray}$ . Das ist natürlich weder die Bijektivität noch die Stetigkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ , aber es ist der erste Schritt. Denn damit bildet $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ schon mal in $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ab. Nun guck dir an, was du in diesem Fall hast: Für ein $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R^n \end{eqnarray}$ , für das $\begin{eqnarray} \\|x\\|_{\infty}<1 \end{eqnarray}$ gilt, soll für den Bildpunkt $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ folgendes gelten: $\begin{eqnarray} \\|f(x)\\|_2<1 \end{eqnarray}$ . Versuche doch einmal, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ so zu definieren, dass $\begin{eqnarray} \\|f(x)\\|_2=\\|x\\|_{\infty} \end{eqnarray}$ gilt.

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