zerfällungskörper

13.12.2005, 15:39	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
zerfällungskörper ich forumliere erst mal die aufgabe und dann die gedanken, die ich mir selbst schon dazu gemacht habe! Sei f ein beliebiges irreduzibles (d.h. nicht faktorisierbares) polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (d.h. alle koeffizienten sind rationale zahlen) vom grad 3. das polynom hat keine rationale nullstelle und genau eine reelle. zu zeigen ist, dass der grad des zerfällungskörpers K von f 6 ist. (d.h. K ist der kleinste körper in dem f in linearfaktoren zerfällt und [K: $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ]=6) nun zu meinen überlegungen: -) f hat genau eine reelle nullstelle und ist vom grad 3. d.h. f muß noch zwei komplexnullstellen haben, die komplexkonjugiert zu einander sind. d.h. f hat folgende nullstellen: $\begin{eqnarray} r \in \mathbb R / \mathbb Q \ \ c , c_{komplexkonjugiert} \in \mathbb C \end{eqnarray}$ -) f hat also die darstellung (X-r)g(X) und g(X) ist ein reelles polynom mit den beiden komplexen nullstellen von f als nullstellen. demnach (r ist nicht rational) muß r also die 3 wurzel ausirgednwas sein. damit ergibt sich [ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r) : $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ]=3 da {1,r,r^2} eine $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -basis von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r) ist. -) $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,c,c_{komplexkonjugiert}) \end{eqnarray}$ ist also der zerfällungskörper. -) ich weiss, dass [ $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,c,c_{komplexkonjugiert}) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ] = [ $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,c,c_{komplexkonjugiert}) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r)][ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r) : $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ] -) das soll 6 sein! da der hintere faktor schon 3 ist muß ich also nur noch zeigen, dass der erste faktor ([ $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,c,c_{komplexkonjugiert}) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r)]) gleich zwei ist. dafür muzß ich zeigen, dass eine $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (r)-basis für $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,c,c_{komplexkonjugiert}) \end{eqnarray}$ nur zwei elemente hat. das währe dann sicherlich {1,c} aber ich habe keine ahnung wie ich das zeigen soll.. wenn mir jemand noch einen anderen weg aufzeigt währe ich auch dankbar.. edit: ich hab noch eine idee, aber dafür fehlt mir die richtige begründung: f hat die darstellung (X-r)g(X). könnte man jetzt nicht zeigen, dass g ein Polynom über $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,i) \end{eqnarray}$ ? dann würde sich als zerfällungskörper für f nämlich $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,i) \end{eqnarray}$ ergeben und die $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ -basis von $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,i) \end{eqnarray}$ währe dann {1,r,r²,i,ir,ir²}. hat also genau 6 elemente und somit währe es bewiesen. nur fehlen mir hier, wie schon gesagt, die argumente dafür, dass $\begin{eqnarray} g \in \mathbb Q (r)[X] \end{eqnarray}$ und die nullstellen von g dann in $\begin{eqnarray} \mathbb Q (r,i) \end{eqnarray*}$ liegen.
14.12.2005, 10:47	quarague	Auf diesen Beitrag antworten »
deine Aufgabenstellung ist irgendwie noch unvollständig, so wie sie dasteht erfüllt zB jedes Polynom der Form f(z)=z^p-2 mit p prim die Vorraussetzungen aber deren Zerfällungskörper müsste Grad p haben (jedenfalls nicht 6 für beliebige p). selbst wenn man annimmt das f von Grad 3 ist, sehe ich noch nicht woraus du folgerst, das r eine dritte Wurzel ist.
15.12.2005, 15:40	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
das stimmt, tut mir leid, es ist a priori ein polynom dritten grades gemeint! ich habs in meiner aufgaben stellung schon geändert!

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