arbeitsintegral

04.05.2008, 14:19

Primzahl

arbeitsintegral

ich hab ein problem mit folgender aufgabe:
Ein Staubecken besitzt die Form eines aufrecht stehenden, oben offenen Rotationsparaboloids und berührt mit seinem Scheitel die Oberfläche eines Sees. Seinen oberen Durchmesser d hat es in der Höhe h. Welche Arbeit ist notwendig, um das leere Staubecken vom See aus zu füllen? (die Oberflächenabsenkung kann vernachlässigt werden)

nun weiß ich nicht genau wie ich da herangehen soll, denn ich muss ja die rotation der parabel mit einbeziehen, weshalb ich nicht so einfach das kurvenintegral bilden kann.
deshalb wollte ich die kreisfläche $\begin{eqnarray*} A=r^2*\pi \end{eqnarray*}$ mit dem kurvenintegral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{h}~F(s)~ds \end{eqnarray*}$ multipliezieren und für $\begin{eqnarray*} F(s)=m*g*s^2 \end{eqnarray*}$ verwenden.

04.05.2008, 15:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, ob sich den Physikern dabei die Mägen umdrehen, aber würde ich so ansetzen:

Du könntest den Paraboloid durch n Kreisschreiben der Dicke $\begin{eqnarray*} \Delta s = \frac{h}{n} \end{eqnarray*}$ annähern. Die Arbeit ergibt sich dann aus der Summe der Arbeit, die man benötigt um jeweils eine Kreisscheibe zu füllen.

Durch den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ geht diese Summe in ein Integral über. Wenn du alles außer den Laufindex und n vorher aus der Summe ziehst, kommst du einfacherweise auf ein Integral mit den Grenzen 0 und 1.

04.05.2008, 17:06

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich die summe der kreisscheiben bilde, berechne ich ja praktisch nichts anderes als das volumen eines zylinders oder?
warum berechne ich nicht gleich das volumen eines zylinders aus bzw. könnte ich ja auch das volumen des paraboloidens ausrechnen, obwohl man die oberflächenabsenkung vernachlässigen kann. das problem das ich jetzt hab ist halt das ich nicht weiß wie ich die arbeit berechnen soll. benutz ich jetzt einfach die formel für die hubarbeit W=m*g*h oder soll ich das über das kurvenintegral berechnen, aus der die formel ja abgeleitet ist. abgesehen davon gilt die formel ja auch nur für ein massenpunkt und ich hab ja "jede menge massenpunkte". also reicht es die arbeit für nur ein massenpunkt zu berechnen und dann mit der kreisfläche zu multiplizieren?

04.05.2008, 17:08

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Primzahl
wenn ich die summe der kreisscheiben bilde, berechne ich ja praktisch nichts anderes als das volumen eines zylinders oder?

Es geht nicht darum die Volumina der Kreisscheiben zu berechnen, sondern darum die Arbeit zu berechnen, die man benötigt um das Wasser in solch eine Kreisscheibe zu pumpen und dies dann für alle Kreisscheiben tun und dann addieren.

Nach meinem Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} W = \sum_{i=0}^n \rho \cdot g \cdot V \cdot s \end{eqnarray*}$

V und s hängen noch von h,n und i ab. Dann musst du n gegen unendlich schicken.

04.05.2008, 17:16

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

Es geht nicht darum die Volumina der Kreisscheiben zu berechnen, sondern darum die Arbeit zu berechnen, die man benötigt um das Wasser in solch eine Kreisscheibe zu pumpen und dies dann für alle Kreisscheiben tun und dann addieren.

ja das weiß ich auch, nur brauch ich anscheinend das volumen auch um die arbeit zu berechen, was ja in deiner formel ebenfalls enthalten ist und die könnte ich ja auch anders berechnen oder?

wofür steht eigentlich das p? die masse?

04.05.2008, 17:24

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das soll ein Rho sein für die Dichte.

04.05.2008, 17:34

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

ok wenn ich das jetzt ausrechen mit den grenzen 0 bis h bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} W=\pi * \rho*g*\frac{d^2}{8}* h^2 \end{eqnarray*}$

die lösung lautet aber:
$\begin{eqnarray*} W=\pi * \rho*g*\frac{d^2}{12}* h^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

04.05.2008, 17:47

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf die Lösung, die dir angegeben ist. Du hast wohl den Fehler gemacht, den Durchmesser in der Summe als konstant anzusehen. Er ändert sich allerdings mit der Höhe.

04.05.2008, 19:08

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man vom paraboloiden ausgeht kann ich das nachvollziehen, aber die oberflächenabsenkung wird doch vernachlässigt. und wie soll ich den durchmesser und die höhe in abhängigkeit setzen?

04.05.2008, 19:18

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Dass du die Oberflächenabsenkung vernachlässigen kannst, bedeutet, dass du nicht beachten musst, dass der Wasserstand im See doch sinkt, während du aus dem See Wasser in den Paraboloid pumpst.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{d^2}{4} = r^2 = s \end{eqnarray*}$ , wobei s die Höhe der Kreisscheibe ist (Was ja mit dem Weg, den das Wasser hochgepumpt werden muss übereinstimmt, deswegen s).

Zeige doch mal deinen Rechenweg, dann kann man besser nachvollziehen, wo dein Fehler liegt.

04.05.2008, 19:55

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm versteh immer noch nicht warum $\begin{eqnarray*} r^2=\frac{d^2}{4} =s \end{eqnarray*}$ sein soll. verwirrt

$\begin{eqnarray*} W=S_n=\sum_{i=0}^n~ \rho*g*\pi *\frac{d^2}{4} *s*\Delta s \end{eqnarray*}$

durch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } S_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{\Delta s\to\ 0 } S_n \end{eqnarray*}$ komm ich auf das integral:

$\begin{eqnarray*} W=\pi *\rho*g*\frac{d^2}{4}* \int_{0}^{h}~s~ds \end{eqnarray*}$ wobei ich d anscheinend nicht aus dem integral ziehen darf, obwohl ich die beziehung zu s immer noch nicht so ganz verstehe.

04.05.2008, 20:12

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei einer Parabel gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{r_m^2}{h} = \frac{r^2}{s} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} r^2 = \frac{s}{h} r_m^2 \end{eqnarray*}$

Ich bin bei meiner Berechnung von dem Spezialfall einer Normalparabel ausgegangen, weshalb ich $\begin{eqnarray*} r^2 = s \end{eqnarray*}$ gesetzt habe. Es kommt letztendlich auf dasselbe hinaus.

04.05.2008, 20:15

Primzahl

Auf diesen Beitrag antworten »

ahh jetzt hab ich es endlich verstanden. vielen dank für deine hilfe.

Neue Frage »

Antworten »

arbeitsintegral

Verwandte Themen