ebenen in normalenform

13.12.2005, 15:54

marcusf

ebenen in normalenform

hi, ich muss eine zusammengesetzte aufgabe in mathe erledigen und brauche da etwas hilfe. habe jezz soweit ich komme alleine gerechnet. vielleicht kann mir erstmal jemand sagen ob das stimmt und mir dann weiterhelfen.
danke

E1: (10|10|10) + r(1|-1|0) + s(0|1|-2)
E2: 4x + 4y + 2z = 16

1.Bestimmen Sie eine Normalengleichung von E2

2.Unter welchem Winkel schneidet die Ebene E2 die x-y-Koordinaatenebene?
3.Bestimmen Sie die relative Lage der Ebenen E1 und E2 zueinander
4.Bestimmen Sie die Spurgerade gxy der Ebene E2
5.Bestimmen Sie eine Normalengleichung einer Ebene H, die die Ebne E2 in deren Spurgerade gxy senkrecht schneidet
6.Bestimmen sie den Abstand von E1 und E2
7.BestimmenSie die Gleichungen der beiden Geraden g1 und g2, die orthogonal zur Ebene E2 sind, die diejenige Ursprungsgerade, die durch den Punkt P(0|2|-1) geht, schneiden und die zum Ursprung den Abstand d=6 haben.

1. E:[x-(2|2|0)] * (4|4|2)
(4|4|2) ist der Normalenvektor und (2|2|0) ein Punkt auf der Ebene.

2.
(4|4|2) ist der Normalenvektor und (0|0|1) ein Richtungsvektor in der x-y-Ebene.

sin y= [|Vektor m * Normalenektor n|] / [|Vektor m| * |Normalenvektor n|]

|(4|4|2) * (0|0|1)] / Wurzel 36 = sin y

siny = 2/6 = 1/3
y = ca. 19,5 Grad

3. Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander, denn bei einsetzen der koordinaaten der parameterform in die koordinaatengleichung der ebene erhält man einen widerspruch (nicht lösbarkeit).

4.Umwandeln der Ebene in Parameterform:
Dazu berechnen der schnittpunkte mit den achsen:
A(4|0|0)
B(0|4|0)
C(0|0|8)

E2: (4|0|0) + r (-4|4|0) + s(-4|0|8)

Ansatz für gxy: z=0
0 = 0+ 0r + 8s
s = 0

Einsetzen von si in die Gleichung von E2:
gxy: (4|0|0) + r(-4|4|0) Spurgeraden gxy

5.Weiß ich noch nicht so wie ich das machen soll. da brauche ich hilfe. meine idee: ERSTMAL EINE EBEN BESTIMMEn mit der 3-Punkte form, wobei 2 punkte auf der spurgerade liegen. aber wo muss der 3. punkt liegen?
dann aus der ebenengleichung die normalengleichung machen. jedoch nur eine idee

6. Hessesche Normalenform verwenden:

(4|4|2) / Wurzel 36 * [(2|0|0) - (10|10|-2)] = d
d= 10 LE

7.habe ich noch keine idee da bräuchte ich auch hilfe

danke schonmal

13.12.2005, 18:54

aRo

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a) ist richtig bei der b) guck dir nochmal an, wie die Formel für den Schnittwinkel von 2 Ebenen ist.

Gruß,
aRo

13.12.2005, 19:15

cst

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3) ja
4) Hab ich auch so.
5) Du brauchst einen Punkt in der Ebene und zwei Richtungen. Als Punkt geht jeder, der auf der Spurgeraden liegt. Ein Richtungsvektor ist der Richtungsvektor der Spurgeraden, der andere der Normalenvektor von E2.

13.12.2005, 20:44

cst

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7) Ich hab folgende Idee: Die Richtungsvektoren von g1 und g2 stehen fest (Normalenvektor von E2), weil beide Geraden senkrecht auf dieser Ebene stehen sollen. g1 und g2 sollen ja Gerade g_P schneiden, das ist die Ursprungsgerade, die durch den Punkt P(0;2;-1) geht.
$\begin{eqnarray*} g_P: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Schnittpunkte sollen P1 und P2 heißen. Also sind die Geraden g1 und g2:
$\begin{eqnarray*} g_{1;2}: \vec{x}=\vec{OP_{1;2}} + u \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Fehlen noch die "Aufpunkte" P1 und P2. Da P1 und P2 auf g_P liegen, kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} g_{1;2}: \vec{x}=t \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aus der Bedingung, daß g1 und g2 den Abstand 6 vom Ursprung haben sollen, folgen 2 Werte für t. Damit hat man P1 und P2. Für t kommen bei mir zwei "runde" Werte raus, damit auch für die Koordinaten von P1 und P2.

13.12.2005, 22:13

marcusf

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Zitat:

Original von aRo
b) guck dir nochmal an, wie die Formel für den Schnittwinkel von 2 Ebenen ist.

Gruß,
aRo

ok stimmt die ist:

cos y = [|n1 * n2|] / [|n1| * |n2|]

13.12.2005, 22:15

marcusf

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wisst ihr ob meine nr. 6 stimmt?

13.12.2005, 22:19

marcusf

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Zitat:

Original von marcusf

Zitat:

Original von aRo
b) guck dir nochmal an, wie die Formel für den Schnittwinkel von 2 Ebenen ist.

Gruß,
aRo

ok stimmt die ist:

cos y = [|n1 * n2|] / [|n1| * |n2|]

Kriege jetzt für y etwa 70,5 Grad heraus. stimmt das?

13.12.2005, 22:37

aRo

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Dein Winkel stimmt.

Bei der 6) habe ich irgendwie 14LE raus. Vielleicht schaust du da nochmal nach. Kann jetzt leider nicht mehr unglücklich

Gruß,
aRo

13.12.2005, 22:41

marcusf

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OKAY KANN VERSTEHEN DASS DU TOTAL FERTIG BIST: BIN ICH AUCH LANGSAM ABER MUSS DAS MORGEN ABGEBEN . sorry hab grad alles großgeschrieben ausversehen.

habe als normalenvektor (4/4/2), als punkt von E1 (10/10/-2) und als Stützvektor (2/2/0) gewählt.

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