Ähnlichkeiten

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13.12.2005, 17:47	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeiten s ( , ) sei eine Ähnlichkeit auf R, es soll gezeigt werden, das durch d(x,y)=s(x,x)+s(y,y)-2*s(x,y) eine Distanz definiert wird. Geben sie ein Beispiel für eine Ähnlichkeit s, für die die in dieser Gleichung definierte Distanz keine Metrik ist. Herzlichen Dank im Vorraus :-)
13.12.2005, 19:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du dir denn schon überlegt? Wir sind keine Lösungsmaschine! Und was bitte schön ist eine Ähnlichkeit? Gruß MSS
13.12.2005, 19:54	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine reelle Funktion heißt Ähnlichkeit, wenn sie die Bedingungen der Symmetrie,Nichtnegativität und Identifikation erfüllt. Durch die Transformationsgleichung (oben angegeben) lassen sich Ähnlichkeiten in Distanzen transformieren... Meine Überlegung war, dass wenn Ähnlichkeiten die Bedingungen von Distanzen erfüllen (laut Skript genau die gleichen wie für Ähnlichkeit) und die Ähnlichkeiten in der Gleichung nur additiv verknüpft sind, müsste das ja passen... Frage, ob das richtig ist? Und Beispiel weiss ich dann auch nicht :-(
13.12.2005, 19:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig verstanden hab, bedeutet das: 1) $\begin{eqnarray} s(x,y)=s(y,x)\quad\forall\ x,y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} s(x,y)\geq 0\quad\forall\ x,y\in\mathbb R \end{eqnarray}$ 3) Was heißt Identifikation? Allerdings würde das dann eher zu $\begin{eqnarray} s:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray}$ passen, was keine reelle Funktion ist. Ist eine Distanz eine Abstandsfunktion (also eine Metrik)? Gruß MSS
13.12.2005, 20:17	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Distanz ist eine Metrik, ja. Identifikation meint s(i,j)>0 und s(i,i)>s(i,j)
13.12.2005, 20:51	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze für $\begin{eqnarray} i\neq j \end{eqnarray}$ , richtig? Gut, dann fang doch einfach mal an, die drei Dinge zu überprüfen. Wo kommst du da nicht weiter? Gruß MSS
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13.12.2005, 21:21	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Identifikation: d(x,y)=0 für x=y, da dann s(x,x)+s(x,x)-2s(x,x) erfüllt Symmetrie: d(y,x)=s(y,y)+s(x,x)-2s(y,x) und s(y,x)=s(x,y) da Identifikation für Ähnlichkeiten Richtig? Aber Nichtnegativität: Woher weiss ich, dass 2*s(x,y)<s(x,x)+s(y,y) Und ein Beispiel fällt mir nicht ein :-)
13.12.2005, 21:59	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Symmetrie der Metrik wird auch mit der Symmetrie der Ähnlichkeit und nicht mit der Identifikation bewiesen. Für die Nichtnegativität: Für $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ gilt wegen der Identifikation: $\begin{eqnarray} s(x,y)<s(x,x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s(x,y)=s(y,x)<s(y,y) \end{eqnarray}$ . Addiere diese beiden Ungleichungen. Damit erhältst du für $\begin{eqnarray} x\neq y \end{eqnarray}$ übrigens $\begin{eqnarray} d(x,y)>0 \end{eqnarray}$ und somit: $\begin{eqnarray} d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y \end{eqnarray}$ . Gruß MSS
13.12.2005, 22:05	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab doch die Symmetrie mit der Symmetrie der Ähnlichkeiten bewiesen oder? Gilt das jetzt nicht generell, oder wie würde eine Ähnlichkeit lauten, für die d(x,y)=s(x,x)+s(y,y)-2*s(x,y) nicht metrisch ist? Danke übrigens...
13.12.2005, 22:17	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich gilt das generell, also allgemein. Du hast es ja allgemein bewiesen. Oben hattest du bei der Symmetrie als Begründung noch irgendwas mit Identifikation geschrieben. Gruß MSS
13.12.2005, 23:36	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann bin ich jetzt doch dahintergestiegen. Dankeschön. Aber in welchem konkreten Fall, wäre die definierte Distanz der Gleichung keine Metrik? Beispiel? Dafür müsste, glaub ich, die Dreiecksungleichung d(i,j)<d(i,k)+d(k,j) nicht mal erfüllt sein...
14.12.2005, 00:05	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist Distanz doch nich das gleiche wie Metrik. Genau. Für die Metrik ist die Dreiecksungleichung dann nicht erfüllt. Gruß MSS
14.12.2005, 00:08	rooobert	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrt - bei einer Metrik ist die Dreiecksungleichung erfüllt, bei der Distanz nicht. Mit welchem Beispiel ist diese Gleichung also "nur" eine Distanz?
14.12.2005, 00:14	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist klar. Hab mich falsch ausgedrückt. Für ein Beispiel hab ich noch keine Idee. Ich werd mal ein wenig überlegen ... Gruß MSS

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