Zahlentheoretische Kombinatorik |
04.05.2008, 16:45 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zahlentheoretische Kombinatorik Zu zeigen ist, dass für alle Primzahlen p und alle natürliche Zahlen k,l mit ggT(p,l) = 1 gilt:: Mein erster Ansatz war natürlich das Ausschreiben des Binomialkoeffizienten, aber auf Grund des etc. wurde das ganze äußerst unhandlich, ebenso wie Induktion nach l oder k. Hat jemand eine Idee, welchen Ansatz ich weiter verfolgen sollte bzw. sonst einen Tipp? |
||||||||
04.05.2008, 17:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hmm, ich würde erstmal folgendes definieren: Dann ist , induktiv folgt: . Nächster Schritt wäre jetzt, eine Struktur wie modulo zu untersuchen. Nach dem Satz von Wilson müsste das einfach sein, wenn ich mich in der Eile jetzt nicht geirrt habe... |
||||||||
06.05.2008, 22:52 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi Arthur, vielen Dank. War die letzten 2 Tage kaum zu hause, daher so spät. Deine erste Gleichung (ohne die Def.) ist mir nicht ganz klar: Auf der rechten Seite steht genau ohne die Faktoren, die p teilt. Aber warum ist dieser Anteil genau durch gegeben? |
||||||||
06.05.2008, 23:21 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst wohl eher die Faktoren, die durch teilbar sind - die anderen (also nicht durch p teilbaren) sind ja in dem erfasst. Einfach mal aufschreiben: Das ist das Produkt |
||||||||
07.05.2008, 14:22 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meinte p als Subjekt, "die Faktoren, die p teilt", also genau diejenigen Faktoren, die von p geteilt werden. War natürlich unpräzise, da ich mit "rechter Seite" zunächst nur meinte...
Danke, das hab ich irgendwie nicht gesehn... |
||||||||
07.05.2008, 14:30 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, der Sinn der ganzen Übung war ja, das Gros der p-Faktoren zu separieren, wenn man das ganze für in die Gleichung einsetzt. D.h., man wendet die obige Entwicklung dreimal, und zwar für , und an: . Jetzt die -Potenzen sowie das wegkürzen, dann sieht alles schon sehr viel übersichtlicher aus... |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
08.05.2008, 11:46 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das kürzt sich in der Tat schön weg: Nun hab ich nachgerechnet, du hattest Recht, das ist . Nur auf auf den Übergang nach komme ich nicht... |
||||||||
08.05.2008, 11:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für ist , es folgt somit , letztere Gleichheit natürlich nur für ungerade , also . Der Fall ist ja eh schnell erledigt. |
||||||||
08.05.2008, 13:10 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, dann ist mir alles klar, vielen Dank nochmal! Würde mich mal interessieren, ob du die Beweisidee kanntest, oder eben mal schnell selbst hergeleitet hast. Ich hab mich nämlich davor ewig abgemüht und auf die geschickte Definition von und einige der Umformungen wäre ich sicher nicht gekommen... |
||||||||
08.05.2008, 13:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das einzige, was ich vorher kannte, ist die maximale Potenz von , die in steckt: Exponent der 2 in der Primfaktorzerlegung von 10000! Das reicht hier aber nicht, denn es geht ja nicht nur um Teilbarkeit durch oder nicht, sondern den konkreten Rest. Ansonsten hab ich nur noch an Wilson gedacht und mir den Rest zusammengepuzzelt. EDIT: Übrigens, deine Aussage gilt für alle . Es ist also gar nicht nötig, die durch teilbaren auszuschließen. |
||||||||
08.05.2008, 16:22 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |
|