Exp-Funltion Lipschitz-Stetig?

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Sandy Auf diesen Beitrag antworten »
Exp-Funltion Lipschitz-Stetig?
hi leute,

ich hab da die aufgabe:

a) Ist die exponentialfunktion x->exp(-x) auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] Lipschitzstetig?

b) Beweisen sie, dass die gleichung x=exp(-x) genau eine Lösung in IR hat.


zu a)
sei x > y
ich weiß dass exp(-x) = e^-x ist = 1/e^x

dann hab ich:
d(f(x),f(y)) < L * d(x,y)
=> d(1/e^x, 1/e^y) < L * d(x,y)
=> 1/e^x - 1/e^y < L * (x-y)

und da soll ich noch ein Lipschitzkonstante L finden, welche kann ich da wählen damit die ungleichung noch gilt?
ist das was ich eigenltich getan hab richtig?

zu b)
x=1/e^x
in a) hab ich gezeigt, dass es lipschsitz-stetig ist
=> x=1/e^x ist kontrahieren mit L < 1 (da muss ich ja noch eine konstante finden)
=> nach banachscher Fixpunktsatz, dass x=e^-x genau eine lösung in IR besitzt

sind diese folgerungen eigentlich richtig, ich bin mir da total unsicher.

mfg
Sandy
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur a) Eine differenzierbare Funktion ist schon dann lipschitz-stetig, wenn die Ableitung beschränkt ist.


Zur b) Da auf ganz R nicht Lipschitz-stetig ist, kann das so nicht klappen.
Du könntest mal äquivalent umformen zu: . Eine Lösung dieser Gleichung muss positiv sein (warum?). Nun leite mal ab
Sandy Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab bei a)

die ableitung ist
ich bin ja weiterhin im intervall [a,b]oder? und da hab ich doch auf jedenfall eine obere und untere schranke. die untere ist a und die obere ist b => das das dann auch beschränkt ist, ist diese argumentation richtig?

zu b)
das problem was ich hier habe ist, dass wir mit dem banachschen fixpunktsatz arbeiten sollen, weil wir den halt grad in der vorlesung hatten und dazu brauch ich doch eine konstante L < 1, und die hätte ich ja mir in a holen können.

ich machs mal nach deiner variante:
die ableitung von g(x) ist dann (x+1) * e^x
hier kann das x doch auch negativ sein,oder nicht?
ich weiß nicht warum das ergebnis positiv sein soll, nur weil die gleichung gleich 1 hat?

mfg
Sandy
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sandy

ich bin ja weiterhin im intervall [a,b]oder? und da hab ich doch auf jedenfall eine obere und untere schranke. die untere ist a und die obere ist b

Dass eine stetige Funktion auf einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall ebenfalls beschränkt (und auch abgeschlossen) ist, stimmt. Da streng monoton fällt, ist diese Schranke leicht zu bestimmen.

zur b)
Man betrachtet doch die Gleichung
Welches Vorzeichen hat die rechte Seite? Also muss die linke dasselbe haben.

Dann eben jetzt mit dem Banachschen Fixpunktsatz:

Da es keine nichtpositiven Lösungen gibt, existiert aus Stetigkeitsgründen also ein h>0, sodass es auf [0,h] auch keine Lösung gibt.
Nun zeigst du (in Verbindung mit a)), dass die Funktion auf kontrahiert.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Da auf ganz R nicht Lipschitz-stetig ist, kann das so nicht klappen.


Aber z.B. auf klappt es, wenn hinreichend klein ist.

EDIT: Oh oh, hatte deinen letzten Beitrag nicht gelesen. Bitte um Entschuldigung.
Sandy Auf diesen Beitrag antworten »

also das mir der oberen untern schranke...kein plan, sowas hab ich auch nicht wirklich verstanden. ich weiß nicht was für grenzen hat, sorry. ich find das echt doof das ich das nicht auf die reihe bekomme... unglücklich

zu b)

also kontrahierend bedeutet ja, dass f(x) Lipschitzstetig sein muss und ich eine Lipschitzkonstante brauche, ich hab dann:

d(f(x),f(y) < L * d(x,y)
d(e^-x, e^-y < L * d(x,y)

bei einem beispiel in der vorlesung haben wir mit dem Mittelwertsatz begründet, könnte man das hier auch machen? dann würde das glaub ich so aussehen:

|e^-x, e^-y| = |f'(s)| |x-y|

und die ableitung ist ja f'=-e^-x und das ist ja < L, denn für mein L gilt: h<L<1

stimmt das so?

mfg
Sandy
 
 
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