Austauschsatz |
| 13.12.2005, 20:49 | _ _ _ _ _@_ _ _ _ _ | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Austauschsatz Erstens zum Austauschsatz von Steinitz --> Gegeben seien: 1. Ein Vektorraum V 2. Eine Basis B dieses Vektorraumes: B = {b1 ... bn} 3. Eine linear unabhängige Menge A aus Vektoren dieses Vektorraumes: A = {a1 ... am} Fügt man zur Basis B = {b1 ... bn} die linear unabhängige Menge A = {a1 ... am} hinzu, und entfernt im Gegenzug m Vektoren aus der Basis b, so erhält man eine neue Basis B'. Dazu hab ich gelesen dass... Der Steinitz'sche Austauschsatz sagt nur, daß es m geeignete Vektoren in B gibt, die man gegen {a1 ... am} austauschen kann. Der Steinitz'sche Austauschsatz sagt aber nicht, welche Vektoren geeignet sind. Stimmt das ? wenn ja woher weiß ich welche ich austauschen kann ? ------------------------------------------------------------------------------------------ Zweite Frage wir haben in der Vorlesung einen zweiten Ausatuschsatz aufgeschrieben den ich abr leider nicht verstehe. Kann mir jmd sagen ob es das selbe ist und wenn nicht was da anders ist ? Sei V ein K-VR und B={v1....vn} sei eine Basis von V. Weiter sei w€V\{0} und (x1....xn) die eindeutige Darstellung von w in der Basis (v1...vn). Für alle k€(1....n) mit xk ungleich 0 gilt (B\{v_k}) vereinigt {w} ist eine weitere Basis von V THX |
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| 14.12.2005, 10:10 | flixgott | Auf diesen Beitrag antworten » |
der steinitzsche austauschsatz trifft, wie du selbst schon festgestellt hast, nur eine existenzaussage, mit ihm kan man solche vektoren nicht konstruieren. da hilft nur probieren 
aber wenn du ein menge unabhängier vektoren hast, dann ist es eigentlich nicht mehr sonderlich schwer fest zu stellen, welche aus der original basis du hier noch hinzu nehmen mußt (mit denen die menge dann immer noch unabhängig ist) um wieder ein vollständig unabhängiges erzeugendensystem sprich eine basis zu bekommen!zu dem zweiten satz. ich hab das so etwa so verstanden: ist {b1,...,bn} eine basis, so ist {b2,..,bn, x1*b1+..+xn*bn} mit w=x1*b1+..+xn*bn auch eine basis (ich hab hier oBdA k=1 gewählt). du kannst also basis elemente gegen linearkombinationen in den die basis elemente vorkommen austauschen. der beweis ist gar nicht so schwer, es wird mittels der körpereigenschaften (und damit möglichen vorfaktoren) gezeigt, dass beide basen den vektorraum erzeugen. |
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