Lipschitz-Steitgkeit

13.12.2005, 21:47

The_Lion

Lipschitz-Steitgkeit

Hallo.
Ich habe folgende Aufgabe.
f(x):= 1/x

f ist stetig auf $\begin{eqnarray*} (0,\infty) \end{eqnarray*}$ , aber nicht Lipschitz-stetig.

Mir fehlt die Lipschitzstetigkeit.

Wähle x,y € (0,1)
=> $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x}- \frac{1}{y}| \leq \lambda*|x-y| \end{eqnarray*}$

Wie genau leitet man nun den Widerspruch her ?
Danke.

13.12.2005, 21:52

Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst doch nur ein Paar als Gegenbeispiel! Dann nimm doch eins mit y=2x, jetzt musst du nur noch ein passendes x bestimmen.

13.12.2005, 22:06

The_Lion

Auf diesen Beitrag antworten »

ich wähle x € (0,1) und y=2x wie du sagtest.

Dann hat man auf der linken Seite 1/2 * |x| raus und auf der rechten der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \lambda * |x| \end{eqnarray*}$ .
Und die Ungleichung gilt, für lambda >= 1 gilt sie sowieso.

Sollte ich folgende Ungleichung nicht umformen ?

$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{x}- \frac{1}{y}| > \ \lambda*|x-y| \end{eqnarray*}$

Damit ich weiss, wann die Lipschitz-Unlgeichung unerfüllt ist ?

Anfangs hatte ich versucht, x,y € (0,1) zu wählen, dabei eins nahe bei Null und eins nahe bei Eins, aber die Lipschitz-Ungleichung ist trotzdem erfüllt !?

13.12.2005, 22:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von The_Lion
ich wähle x € (0,1) und y=2x wie du sagtest.

Dann hat man auf der linken Seite 1/2 * |x| raus und auf der rechten der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \lambda * |x| \end{eqnarray*}$ .

Mal langsam. Die Frage ist jetzt: Gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \geq \lambda x \end{eqnarray*}$ ?

Falls ja, dann hast du den Widerspruch zur Lipschitzstetigkeit.

13.12.2005, 22:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von The_Lion
Dann hat man auf der linken Seite 1/2 * |x| raus

Falsch, da hast du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2|x|} \end{eqnarray*}$ . Stelle die Ungleichung nach $\begin{eqnarray*} |x|=x \end{eqnarray*}$ um. Da siehst du, dass du für jedes $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ... naja, du weißt schon. Augenzwinkern

Gruß MSS

13.12.2005, 22:23

The_Lion

Auf diesen Beitrag antworten »

arthur dent, jeder fängt mal klein an, deine "Witzchen" kannst Du dir sparen, SO brauchst du mir nicht zu antworten!

Nein, gibt es nicht.
Nimm \lambda = 1/2 und x<0, dann gilt nicht

Dann haben wir vielleicht die Definition der Lipschitz-Stetigkeit aufgeschrieben.

Wir haben gesagt:
Eine Abb. f: X --> Y heißt Lipschitz-stetig,
falls ein $\begin{eqnarray*} \lambda >0 \ existiert\ mit \ d(f(x), f(y)) \leq \lambda * d(x,y) \forall \ x,y \in X. \end{eqnarray*}$

WIr haben nicht aufgeschrieben, dass für JEDES lambda größer Null ein x exitieren muss oder so ähnlich, daher wa rich verwirrt, da man das lambda ja beliebig wählen kann (größer Null natürlich) und die Ungleichung mit deinen Hinweis immer noch erfüllt wäre.Ist meine Definition also falsch ?

In Deiner letzten Ungleichung meinst du sicherlich "Kleiner Gleich" !

EDIT by Frooke: Bitte keine Doppelposts

13.12.2005, 22:31

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von The_Lion
WIr haben nicht aufgeschrieben, dass für JEDES lambda größer Null ein x exitieren muss oder so ähnlich, daher wa rich verwirrt, da man das lambda ja beliebig wählen kann (größer Null natürlich) und die Ungleichung mit deinen Hinweis immer noch erfüllt wäre.

Brauchen wir hier wirklich einen Grundkurs in Logik, ich meine wegen der Negation? Also bitte:

Lipschitz-stetig: $\begin{eqnarray*} \quad\exists \lambda>0 \; \forall x,y\in X: d(f(x),f(y)) \leq \lambda d(x,y) \end{eqnarray*}$

nicht Lipschitz-stetig: $\begin{eqnarray*} \quad\forall \lambda>0 \; \exists x,y\in X: d(f(x),f(y)) > \lambda d(x,y) \end{eqnarray*}$

13.12.2005, 22:44

The_Lion

Auf diesen Beitrag antworten »

"2hot4u" hat grad folgendes geschrieben, Ihr habt es gelöscht.
Sei lambda > 0 fest gewählt.
| 1/x - 1/y | <= lambda . | x - y |
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wähle x < y => 1/x > 1/y
Dann hast du keine Probleme mit den Beträgen mehr:
1/x - 1/y <= lambda . (y - x)

Ist hier nicht ein Fehler? Er wählt x<y und lässt die Betragsstriche bei | x - y | weg, was ungleich (y-x) ist.

13.12.2005, 22:59

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Gelöscht wurde es, da es eine Komplettlösung war. Aus $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ folgt ja wohl $\begin{eqnarray*} y-x>0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |y-x|=y-x \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.12.2005, 23:00

Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss wohl gestattet sein, mal auf den Punkt zu kommen. Statt ewig um den heißen Brei zu reden. Aber bitte, mich bist du los. Wink

13.12.2005, 23:08

The_Lion

Auf diesen Beitrag antworten »

auf den Punkt kommen, aber vernünfitg !

Wink

@mss:
sorry, aber ich hab gradn Brett vorm Kopf.

aus x>y folgt |y-x | > 0, aber wir haben den Betrag |x-y|, was ohne Betragsstriche doch negativ wäre !?

edit: jo, habs verstanden.

EDIT by Frooke: Bitte keine Doppelposts

13.12.2005, 23:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist schon klar, dass du und ich oben $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$ geschrieben haben!?

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Lipschitz-Steitgkeit

Verwandte Themen