Äquidistante zerlegung u. Int

04.05.2008, 22:28

zeusosc

Äquidistante zerlegung u. Int

Hi,

ich habe gerade das prob das ich ne passende äquidistante zerlegung für die berechnung des Riemann Int nicht hinbekomme,... dass sind die aufgaben:

$\begin{eqnarray*} a)\,\,\,\int_a^be^{\gamma x}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b)\,\,\,\int_a^b\sin{x}dx \end{eqnarray*}$
Bei b) kann $\begin{eqnarray*} \sin{x}=\frac{1}{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right) \end{eqnarray*}$ gwählt werden,...

Also für a) wähle ich
$\begin{eqnarray*} x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}\,\,,x_{k-1}=a+\frac{(k-1)(b-a)}{n}\,\,\,,\xi_k=x_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int_a^be^{\gamma x}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^nf(\xi_k)(x_k-x_{k-1})=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^nf(\xi_k)(a+\frac{k(b-a)}{n}-\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}{n}\right)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^nf(\xi_k)\left(\frac{b}{n}-\frac{a}{n}\right) \end{eqnarray*}$
Das Blöde ist das b/n ne Nullfolge ist,... sieht jemand meinen Fehler??? hat jemand ne Idee???

gruß und dank

04.05.2008, 22:36

WebFritzi

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RE: Äquidistante zerlegung u. Int
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^nf(\xi_k)\left(\frac{b}{n}-\frac{a}{n}\right) = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^nf(\xi_k) \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 22:40

zeusosc

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Die regel ist mir bekannt,
aber selbst wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^nf(\xi_k) \end{eqnarray*}$ konvergentist, bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{n}\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0 \end{eqnarray*}$ ,...
Und das Integral ist ja net null,....

Gruß und dank
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edit: muss bei der Äqui. Zerl. überhaupt eine infinitisimal große Zerlegung genutzt werden??? Wenn net, kann man denn doch den Lim weglassen,...

04.05.2008, 22:59

WebFritzi

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$\begin{eqnarray*} \lim \frac{1}{n}\cdot n \neq 0. \end{eqnarray*}$

04.05.2008, 23:21

zeusosc

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Ok,.. aber wo bekomme ich den faktor n her??
(besonders da sich k wegkürzt...)

gruuß verwirrt