Konvexität zeigen

20.04.2004, 18:06

cybercat

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Konvexität zeigen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen ud komme irgendwie nicht zurecht :-(. Vielleicht hat jemand einen Tipp?

Aufgabe:
Sei X Teilmenge von R^n. Man zeige, dass
$\begin{align*} M(X)=\{\Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i x_i: m\in\calN , x_i\in X, \lambda_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i=1\} \end{align*}$
konvex ist.

Wie muss ich da rangehen???

Danke euch!

20.04.2004, 18:09

johko

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Bist du sicher, dass du im richtigen Teilforum bist? verwirrt

verwirrt

johko

smile

--------> In Höhere Mathematik verschoben, da kaum Schulstoff - Johko

20.04.2004, 18:19

cybercat

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Ja, es gehört zu Geometrie!! Wir haben das gerade in der Uni und der Kurs heisst Geometrie. Sollte ich da was falsch gemacht haben, dann Entschuldigung!

20.04.2004, 18:25

johko

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Das bestreitet doch keiner - aber es ist kein SCHULstoff in dem Sinne, sondern eben hauptsächlich UNIstoff. Wink

Wink

20.04.2004, 18:33

cybercat

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Oh, ach ich dachte, weil es zum Thema Geometrie gehört, pack ichs auch in das Forum Geometrie. Dann muss ich wohl alles in das Forum "Höhere Mathematik" reinschreiben? Tut mir leid, war keine Absicht!

20.04.2004, 18:35

Irrlicht

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RE: Konvexität zeigen

Zitat:

Original von cybercat
Sei X Teilmenge von R^n. Man zeige, dass
$\begin{align*} M(X)=\{\Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i x_i: m\in\calN , x_i\in X, \lambda_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i=1\} \end{align*}$
konvex ist.

Wie muss ich da rangehen???

Danke euch!

Du prüfst die Definition von "konvex":
"Eine Menge M heisst konvex, wenn die Verbindungsstrecke zwischen je 2 ihrer Punkte ganz in M liegt."
Die Verbindungsstrecke zwischen a und b ist definiert als
$\begin{align*} \{ \lambda a + (1-\lambda) b\ |\ 0 \leq \lambda \leq 1 \} \end{align*}$

Jetzt nimmst du dir 2 beliebige Elemente von deinem M(X) und prüft für jeden Punkt auf deren Verbindungsstrecke, ob er in M(X) liegt.
Alle Klarheiten restlos beseitigt? *g*

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20.04.2004, 18:36

johko

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Weiss ich ja - aber wir müssen da etwas trennen, sonst gibt das zuviel durcheinander. Ich verschieb den Rest auch noch und dann weisst du ja in Zukunft Bescheid. 8) gruss johko

20.04.2004, 18:49

cybercat

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Danke erst mal. Also das:

Zitat:

"Eine Menge M heisst konvex, wenn die Verbindungsstrecke zwischen je 2 ihrer Punkte ganz in M liegt."
Die Verbindungsstrecke zwischen a und b ist definiert als
$\begin{align*} \{ \lambda a+ \(1-\lambda \)b | 0\leq \lambda \leq 1\} \end{align*}$

ist mir soweit klar. Aber da ich ja keine konkreten Punkte gegeben habe, für die ich es prüfen soll, müsste ich ja einfach nur noch nen formalen Satz hinschreiben,, in dem ich das:

Zitat:

Jetzt nimmst du dir 2 beliebige Elemente von deinem M(X) und prüft für jeden Punkt auf deren Verbindungsstrecke, ob er in M(X) liegt.

ausdrücke, oder?

20.04.2004, 18:58

Irrlicht

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Jetzt nehmen wir uns mal gemeinsam zwei beliebige Punkte a und b aus M(X) raus. Wie sehen die denn aus bzw. wie sind sie darstellbar?

20.04.2004, 20:06

cybercat

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Hm, na es kommt ja auf jeden Fall was positives raus und stellt ne Gerade da, oder?

20.04.2004, 20:52

SirJective

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Was ist positiv und was stellt ne Gerade dar?

Wolltet ihr nicht erstmal zwei Punkte in M(X) angeben? Fangen wir mal mit einem einzelnen Punkt an:

Gib mir bitte ein "beliebiges Element" von M(X).

Ich meine sowas wie: Wenn ich dir eine "beliebige rationale Zahl" geben sollte, dann würdest du von mir den Ausdruck "a/b mit a in Z und b in N" erhalten, da die Menge der rationalen Zahlen diese Schreibweise für alle ihre Elemente erlaubt.

Gruss,
SirJective

21.04.2004, 09:03

cybercat

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Ok, war irgendwie auf dem ganz falschen Dampfer. Fangen wir mal mit zwei Punkten an, also ich schlage z.B. vor:

$\begin{align*} a=2, a\in \calN \end{align*}$
$\begin{align*} a=3, a\in \calN \end{align*}$

Wenn ich die beiden Punkte nun in

Zitat:

Original von Irrlicht
$\begin{align*} \{ \lambda a + (1-\lambda) b\ |\ 0 \leq \lambda \leq 1 \} \end{align*}$

einsetze, dann erhalte ich:
$\begin{align*} \{ \lambda 2 + (1-\lambda) 3\ |\ 0 \leq \lambda \leq 1 \} \end{align*}$ .

Und nun? verwirrt

verwirrt

21.04.2004, 10:38

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Irrlicht
Jetzt nehmen wir uns mal gemeinsam zwei beliebige Punkte a und b aus M(X) raus. Wie sehen die denn aus bzw. wie sind sie darstellbar?

Beliebige Punkte bedeutet, du sollst dir 2 Punkte in allgemeiner Form vorgeben. Das sieht dann fast so aus wie in der Definition der Menge.

Gruß vom Ben

21.04.2004, 14:08

SirJective

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Na das muessen wir wohl noch ueben, cybercat.

Machen wir mal ein einfaches Beispiel: Die Menge der ungeraden ganzen Zahlen ist so definiert: (Dabei ist Z die Menge der ganzen Zahlen.)

U = { 2 n + 1 | n in Z }

Nun gib mir eine beliebiges Element aus U.

2 a + 1, mit a in Z

Un nun gibt mir ein weiteres beliebiges Element aus U.

2 b + 1, mit b in Z

(Die Antwort 2 a + 1 waere falsch, da dies dasselbe waere wie das erste, also nicht mehr beliebig.)
Und nun, cybercat, gibt mir ein weiteres beliebiges Element aus U.

...

Und dann - ein Element aus M(X).

23.04.2004, 12:04

cybercat

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RE: Konvexität zeigen
Also ein weiteres Element aus Deinem Beispiel wäre also
2 c + 1, mit c in Z

Jetzt ein weiteres beliebiges Element aus M(X):

Zitat:

Original von cybercat
$\begin{align*} M(X)=\{\Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i y_i: m\in\calN , y_i\in X, \lambda_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i=1\} \end{align*}$

Und noch ein zweites beliebiges Element aus M(X) wäre:

Zitat:

Original von cybercat
$\begin{align*} M(X)=\{\Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i z_i: m\in\calN , z_i\in X, \lambda_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i=1\} \end{align*}$

Ist das erst mal so korrekt?

23.04.2004, 12:47

Poff

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RE: Konvexität zeigen
Nein, da schonmal falsch geschrieben.

Elemente E aus M(x) haben die Form:

E = (Summe von i=1 .. n über Li*zi) wobei für Li usw gilt ....

...

23.04.2004, 15:11

SirJective

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RE: Konvexität zeigen

Zitat:

Original von cybercat
Also ein weiteres Element aus Deinem Beispiel wäre also
2 c + 1, mit c in Z

Das ist richtig!

Zitat:

Jetzt ein weiteres beliebiges Element aus M(X):

$\begin{align*} M(X)=\{\Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i y_i: m\in\calN , y_i\in X, \lambda_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m~ \lambda_i=1\} \end{align*}$

Ist das erst mal so korrekt?

Leider nicht - das ist die Menge, aus der du ein Element angeben sollst. Die Elemente meiner Menge U hab ich ja auch nicht als

{ 2 d + 1 | d in Z }

angegeben, sondern als

2 d + 1, mit d in Z.

Ein Element von M(X) ist also

$\begin{align*} a := \Bigsum_{i=1}^m \eta_i y_i \textrm{, mit } m\in\calN , y_i\in X, \eta_i\in \calR_\geq0, \Bigsum_{i=1}^m \eta_i=1 \end{align*}$

Ein weiteres Element ist

$\begin{align*} b := \Bigsum_{j=1}^n \mu_j z_j \textrm{, mit } n\in\calN , z_j\in X, \mu_j\in \calR_\geq0, \Bigsum_{j=1}^n \mu_j=1 \end{align*}$

Wie du siehst, benutze ich für a und b verschiedene Variablen zur Darstellung - m und n, i und j, eta und mu, y und z - um jeden Zusammenhang zwischen a und b auszuschliessen. Beides sind jedoch Elemente von M(X).

Bilde nun die Summe
$\begin{align*} \lambda a + (1-\lambda) b \end{align*}$
und setze dort die Darstellung von a und b ein.

23.04.2004, 15:32

cybercat

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RE: Konvexität zeigen
Erst mal vielen Dank an SirJective, dass Du soviel Geduld mit mir hast! Gott

Gott

So, nun also weiter.

Also die Summe wäre (hoffe ich):
$\begin{align*} \lambda \( \Bigsum_{i=1}^m \eta_i y_i \) + (1-\lambda) \(\Bigsum_{j=1}^n \mu_j z_j \) \textrm{, mit } m,n\in\calN ; y_i,z_j\in X; \eta_i,\mu_j\in \calR_\geq0; \Bigsum_{i=1}^m \eta_i=1, \Bigsum_{j=1}^n \mu_j=1 \end{align*}$

Ich hoffe, das stimmt? Ich vermute mal, dass ich alles das, was hinter "mit" steht, gar nicht hätte hinschreiben müssen, da es ja schon bei a und b definiert ist, oder?

24.04.2004, 12:59

Irrlicht

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Der Bereich für lambda fehlt noch. Dafür hast du korrekt erkannt, dass die Angabe hinter "mit" nicht mehr nötig ist. So und nun brauchst du nur noch die Summe vereinfachen und zeigen, dass diese wieder in M(X) liegt. Dazu ist es hilfreich, die Variablen $\begin{align*} z_1, ..., z_n \end{align*}$ umzubenennen in $\begin{align*} y_{m+1}, ..., y_{m+n} \end{align*}$ . Die Koeffizienten werden Produkte sein, die du ebenfalls umbenennen kannst zwecks der Übersicht.

25.04.2004, 13:06

cybercat

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Ok, Lambda haben wir so definiert:
$\begin{align*} \lambda \in \calR , \lambda \geq 0, \lambda \in \[0,1\] \end{align*}$

Jetzt muss ich die Summe irgendwie vereinfachen. Ich habe zwar z umbenannt, aber ich weiss nicht, was es mir bringen soll, denn ich sehen nicht, wie ich das weiter zusammenfassen kann?? Hat jemand noch mal einen Tipp?

Danke euch!

25.04.2004, 14:42

Irrlicht

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Zur Vereinfachung führen wir neue Variablen ein. Wir setzen $\begin{align*} \alpha_i=\lambda\eta_i \end{align*}$ für i=1,...,m und $\begin{align*} \alpha_j=(1-\lambda)\mu_{j-m} \end{align*}$ für j=m+1,...,m+n.
Dann ist unsere Summe
$\begin{align*} \sum_{j=1}^{m+n}\alpha_j y_j \end{align*}$
und man rechnet dann noch die Bedingungen für die alphas aus.

25.04.2004, 15:18

Ben Sisko

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Zitat:

Original von cybercat
Ok, Lambda haben wir so definiert:
$\begin{align*} \lambda \in \calR , \lambda \geq 0, \lambda \in \[0,1\] \end{align*}$

Wenn $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ aus dem Intervall ist, kannst du dir die anderen beiden Angaben übrigens sparen, die sind dann klar.

Gruß vom Ben

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